\ANG{
Aus einem Kartenspiel mit 32 Blatt wird mit Zur"ucklegen immer eine Karte
gezogen. Ein Treffer (mit 1 bezeichnet) liegt vor, wenn die gezogene Karte ein
Ass ist, sonst eine Niete (mit 0 bezeichnet).
\begin{enumerate}
\item Der Versuch wird zehnmal ausgef"uhrt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
  tritt das Ergebnis 0001001001 ein?
\item Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beim zehnmaligen Kartenziehen genau
  drei Treffer dabei?
\item Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim zehnmaligen Kartenziehen
  mindestens ein Treffer dabei?
\item Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beim zehnmaligen Kartenziehen
  mindestens drei Treffer dabei?
\item Wie viele Karten muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 90\%-iger
  Sicherheit mindestens einen Treffer zu landen?
\item Wie viele Karten muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 90\%-iger
  Sicherheit mindestens zwei Treffer zu landen?
\item Eine Casino bietet das zehnmalige Kartenziehen mit Zur"ucklegen als
  Spiel an. Der Spieler gewinnt, wenn er ein Trefferpaar (zwei Treffer
  hintereinander) und sonst nur Nieten zieht. In diesem Fall erh"alt der
  Spieler den zwanzigfachen Einsatz zur"uck, sonst ist der Einsatz
  verloren. Welche Rendite (Gewinn pro Einsatz) wirft dieses Spiel f"ur die
  Bank ab?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
Trefferwahrscheinlichkeit: $\D p=\frac{1}{8},\quad q=1-p=\frac{7}{8}$
\begin{enumerate}
\item $\D p_{1}=p^{3}q^{7}=7{,}67\cdot 10^{-4}$
\item $\D p_{2}={\T B(10;\frac 18;3)}=\binom{10}{3}p^{3}q^{7}=0{,}0920=9{,}20\%$
\item $\D p_{3}=1-{\T B(10;\frac 18;0)}=1-
  \binom{10}{0}p^{0}q^{10}=1-q^{10}=0{,}7369=73{,}69\%$ 
\item $P(\text{\GF{mindestens 3 Treffer}})=
1-P(\text{\GF{h"ochstens 2 Treffer}}\quad\DANN$
\begin{align*}
p_{4} &= {\T B(10;\frac 18;3)}+{\T B(10;\frac 18;4)}+
  \,\ldots\,+{\T B(10;\frac 18;10)}=\\
 &=1-{\T B(10;\frac 18;0)}-{\T B(10;\frac 18;1)}-{\T B(10;\frac 18;2)}=\\
 &=1-q^{10}-\binom{10}{1}p^{1}q^{9}-\binom{10}{2}p^{2}q^{8}=
0{,}1195=11{,}95\%
\end{align*} 
\item $\D 1-q^{n}\geqq 0{,}9\QDQ q^{n}\leqq 0{,}1\QDQ
n\geqq \frac{\ln 0{,}1}{\ln q}=17{,}24$, also mindestens 18-mal.
\item $\D 1-q^{n}-\binom{n}{1}p^{1}q^{n-1}\geqq 0{,}9\QDQ 
\underbrace{q^{n}+npq^{n-1}}_{f(n)}\leqq 0{,}1$\\[2mm]
Diese Gleichung ist f"ur uns nur durch Probieren l"osbar:\\[2mm]
$f(29)=0{,}107$ und $f(30)=0{,}0962\QDQ$ mindestens 30 Karten
\item Es gibt 9 M"oglichkeiten f"ur die Lage des Trefferpaars. Die
  Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers ist also
\[p_{\text{g}}=9p^{2}q^{8}=0{,}04832=4{,}832\%\]    
$E$ sei der Einsatz pro Spiel. Von $N$ Spielen gewinnt die Bank 
$(1-p_{\text{g}})N$ Spiele und nimmt somit $(1-p_{\text{g}})NE$ ein. Andererseits
verliert die Bank $p_{\text{g}}N$ Spiele und zahlt damit $20p_{\text{g}}NE$ aus.
Die Rendite der Bank ist also
\[\frac{(1-p_{\text{g}})NE-20p_{\text{g}}NE}{NE}=
1-21p_{\text{g}}=-1{,}47\%\]
Die Bank d"urfte nur das 19-fache des Einsatzes auszahlen, dann w"are die 
Rendite $1-20p_{\text{g}}=3{,}36\%$ 
\end{enumerate}
}
