\ANG{
Ein Laplacew"urfel wird $n$-mal geworfen.
\begin{enumerate}
\item Wie gro"s muss $n$ mindestens sein, damit mit mindestens 99,99\%-iger
  Wahrscheinlichkeit mindestens ein Sechser dabei ist?
\end{enumerate}
 Jetzt wird der W"urfel 500-mal geworfen. Wir betrachten die Ereignisse
\begin{align*}
E_{1}:&\text{\GF{h"ochstens 70 Sechser}}&&
E_{3}:&\text{\GF{mindestens 78 und h"ochstens 93 Sechser}}\\
E_{2}:&\text{\GF{mindestens 90 Sechser}}&&
E_{4}:&\text{\GF{mindestens 78 und h"ochstens $m$ Sechser}}
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(b)] Die Abbildung zeigt den Grafen von $b(k)=B(500,\frac 16,k)$. 
Veranschauliche im Grafen die Wahrscheinlichkeiten $p_{1}=P(E_{1})$ und
  $p_{2}=P(E_{2})$ und sch"atze in nachvollziehbarer Weise ihre Werte ab.
\EPSC{12rr0541}{12cm}{}{
\PSFM{50}{} \PSFM{52}{} \PSFM{54}{} \PSFM{56}{} \PSFM{58}{}
\PSFM{60}{60} \PSFM{62}{} \PSFM{64}{} \PSFM{66}{} \PSFM{68}{}
\PSFM{70}{70} \PSFM{72}{} \PSFM{74}{} \PSFM{76}{} \PSFM{78}{}
\PSFM{80}{80} \PSFM{82}{} \PSFM{84}{} \PSFM{86}{} \PSFM{88}{}
\PSFM{90}{90} \PSFM{92}{} \PSFM{94}{} \PSFM{96}{} \PSFM{98}{}
\PSFM{100}{100} \PSFM{102}{} \PSFM{104}{} \PSFM{106}{} \PSFM{108}{}
\PSFM{110}{110} \PSFM{112}{} \PSFM{114}{} \PSFM{116}{} \PSFM{118}{}
\PSFM{120}{}
\PSFM{0.000}{0,00} \PSFM{0.002}{} \PSFM{0.004}{} \PSFM{0.006}{} \PSFM{0.008}{} 
\PSFM{0.010}{0,01} \PSFM{0.012}{} \PSFM{0.014}{} \PSFM{0.016}{} \PSFM{0.018}{}
\PSFM{0.020}{0,02} \PSFM{0.022}{} \PSFM{0.024}{} \PSFM{0.026}{} \PSFM{0.028}{}
\PSFM{0.030}{0,03} \PSFM{0.032}{} \PSFM{0.034}{} \PSFM{0.036}{} \PSFM{0.038}{}
\PSFM{0.040}{0,04} \PSFM{0.042}{} \PSFM{0.044}{} \PSFM{0.046}{} \PSFM{0.048}{}
\PSFM{x}{$k$} \PSFM{y}{$b$}
}
\item[(c)] Die Abbildung zeigt den Grafen von $\D f(k)=F_{\frac 16}^{500}(k)$.
Dr"ucke $p_{3}=P(E_{3})$ durch $f$ aus, zeichne $p_{3}$ in den Grafen ein und
gib den ungef"ahren Wert von $p_{3}$ an.  
 Ermittle ebenfalls mit dem Grafen das kleinste
$m$ mit $p_{4}=P(E_{4})\geqq 50\%$.
\EPSC{12rr0542}{12cm}{}{
\PSFM{60}{} \PSFM{62}{} \PSFM{64}{} \PSFM{66}{} \PSFM{68}{}
\PSFM{70}{70} \PSFM{72}{} \PSFM{74}{} \PSFM{76}{} \PSFM{78}{}
\PSFM{80}{80} \PSFM{82}{} \PSFM{84}{} \PSFM{86}{} \PSFM{88}{}
\PSFM{90}{90} \PSFM{92}{} \PSFM{94}{} \PSFM{96}{} \PSFM{98}{}
\PSFM{100}{100} \PSFM{102}{} \PSFM{104}{} \PSFM{106}{} \PSFM{108}{}
\PSFM{110}{} \PSFM{0.0}{0,0} \PSFM{0.1}{0,1} \PSFM{0.2}{0,2} 
\PSFM{0.3}{0,3} \PSFM{0.4}{0,4} \PSFM{0.5}{0,5} \PSFM{0.6}{0,6} 
\PSFM{0.7}{0,7} \PSFM{0.8}{0,8} \PSFM{0.9}{0,9} \PSFM{x}{$k$} \PSFM{y}{$f$}
}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D p=\frac 16\QDQ q=1-p=\frac 56,\quad 1-q^{n}\geqq 0{,}9999\QDQ
q^{n}\leqq 10^{-4}$
\[n\ln q\leqq -4\ln 10\QDQ n\geqq\frac{-4\ln 10}{\ln q}=50{,}52
\QDQ n\geqq 51\]
\item $\D p_{1}=\sum_{k=0}^{70}B\left(500,\frac 16,k\right)\approx 
\frac 12\cdot 9\cdot 0{,}0135\approx 6\%$\\[2mm]
$\D p_{2}=\sum_{k=90}^{500}B\left(500,\frac 16,k\right)\approx 
\frac 12\cdot 13\cdot 0{,}034\approx 22\%$ 
\EPSC{12rr0544}{12cm}{}{
\PSFM{50}{} \PSFM{52}{} \PSFM{54}{} \PSFM{56}{} \PSFM{58}{}
\PSFM{60}{60} \PSFM{62}{} \PSFM{64}{} \PSFM{66}{} \PSFM{68}{}
\PSFM{70}{70} \PSFM{72}{} \PSFM{74}{} \PSFM{76}{} \PSFM{78}{}
\PSFM{80}{80} \PSFM{82}{} \PSFM{84}{} \PSFM{86}{} \PSFM{88}{}
\PSFM{90}{90} \PSFM{92}{} \PSFM{94}{} \PSFM{96}{} \PSFM{98}{}
\PSFM{100}{100} \PSFM{102}{} \PSFM{104}{} \PSFM{106}{} \PSFM{108}{}
\PSFM{110}{110} \PSFM{112}{} \PSFM{114}{} \PSFM{116}{} \PSFM{118}{}
\PSFM{120}{}
\PSFM{0.000}{0,00} \PSFM{0.002}{} \PSFM{0.004}{} \PSFM{0.006}{} \PSFM{0.008}{} 
\PSFM{0.010}{0,01} \PSFM{0.012}{} \PSFM{0.014}{} \PSFM{0.016}{} \PSFM{0.018}{}
\PSFM{0.020}{0,02} \PSFM{0.022}{} \PSFM{0.024}{} \PSFM{0.026}{} \PSFM{0.028}{}
\PSFM{0.030}{0,03} \PSFM{0.032}{} \PSFM{0.034}{} \PSFM{0.036}{} \PSFM{0.038}{}
\PSFM{0.040}{0,04} \PSFM{0.042}{} \PSFM{0.044}{} \PSFM{0.046}{} \PSFM{0.048}{}
\PSFM{x}{$k$} \PSFM{y}{$b$} \PSFM{p1}{$p_{1}$} \PSFM{p2}{$p_{2}$} 
}
\item $\D p_{3}=\sum_{k=78}^{93}B\left(500,\frac 16,k\right)=
F_{\frac 16}^{500}(93)-F_{\frac 16}^{500}(77)=f(93)-f(77)
\approx 64\%$\\[2mm] 
$\D p_{4}=f(m)-f(77)\geqq 0{,}5\QDQ f(m)\geqq f(77)+0{,}5\approx 0{,}75
\QDQ m=89$
\EPSC{12rr0543}{12cm}{}{
\PSFM{60}{} \PSFM{62}{} \PSFM{64}{} \PSFM{66}{} \PSFM{68}{}
\PSFM{70}{70} \PSFM{72}{} \PSFM{74}{} \PSFM{76}{} \PSFM{78}{}
\PSFM{80}{80} \PSFM{82}{} \PSFM{84}{} \PSFM{86}{} \PSFM{88}{}
\PSFM{90}{90} \PSFM{92}{} \PSFM{94}{} \PSFM{96}{} \PSFM{98}{}
\PSFM{100}{100} \PSFM{102}{} \PSFM{104}{} \PSFM{106}{} \PSFM{108}{}
\PSFM{110}{} \PSFM{0.0}{0,0} \PSFM{0.1}{0,1} \PSFM{0.2}{0,2} 
\PSFM{0.3}{0,3} \PSFM{0.4}{0,4} \PSFM{0.5}{0,5} \PSFM{0.6}{0,6} 
\PSFM{0.7}{0,7} \PSFM{0.8}{0,8} \PSFM{0.9}{0,9} \PSFM{x}{$k$} \PSFM{y}{$f$}
\PSFM{p3}{$p_{3}$} \PSFM{p4}{$p_{4}$}  
}
\end{enumerate}

}
