\ANG{
Eine Biathletin hat im stehenden Anschlag die Trefferwahrscheinlichkeit 
$p_\mathrm{s}=70\%$ und im liegenden Anschlag $p_\mathrm{l}=80\%$.
Dem Trainer liegt das Ergebnis einer Serie von 200 Schuss vor, die alle in einer
Anschlagsart abgegeben wurden, er wei"s aber nicht in welcher. Die Zahl
der Treffer in dieser Serie bezeichnen wir mit $X$.
\begin{enumerate}
\item Formuliere eine Entscheidungsregel, wie sich der Trainer entweder f"ur
die Hypothese H$_\text{s}$: \GF{stehender Anschlag} oder 
H$_\text{l}$: \GF{liegender Anschlag} entscheiden kann.
\item $F_\mathrm{s}$ sei die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Trainer
f"alschlicherweise f"ur H$_\text{s}$ entscheidet und 
$F_\mathrm{l}$ die Wahrscheinlichkeit, dass er sich f"ur H$_\text{l}$ 
entscheidet, obwohl H$_\text{s}$ wahr w"are. F"ur welche Entscheidungsregel 
ist die Summe der beiden  Fehlerwahrscheinlichkeiten minimal?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die erwarteten Trefferzahlen sind $E_\text{s}=200p_\text{s}=140$ und
$E_\text{l}=200p_\text{l}=160$.
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{ll}
Entscheidung f"ur H$_\text{s}$: &$X\in\{0,1,...,k\}$\\
Entscheidung f"ur H$_\text{l}$: &$X\in\{k+1,k+2,...,200\}$
\end{tabular}
\end{center}
mit $k$ ungef"ahr 150.
\item Liegender Anschlag, aber Entscheidung f"ur H$_\text{s}$: 
\[p=0{,}8\text{ und }X\leqq k\QDQ F_\mathrm{s}=F_{0{,}8}^{200}(k)\]

Stehender Anschlag, aber Entscheidung f"ur H$_\text{l}$: 
\[p=0{,}7\text{ und }X>k\QDQ F_\mathrm{l}=1-F_{0{,}7}^{200}(k)\]
\[\begin{array}{c|c|c|c}
k & F_\mathrm{s} (\text{ in }\%)& F_\mathrm{l}(\text{ in }\%) & 
F_\mathrm{s}+F_\mathrm{l}(\text{ in }\%)\\\hline
149 & 3{,}45 & 6{,}95 & 10{,}4 \\
150 & 4{,}94 & 5{,}06 & 10{,}0 \\
151 &  6{,}90& 3{,}59 & 10{,}5 
\end{array}
\]
Die Entscheidungsregel mit $k=150$ minimiert also die Fehlersumme.
\end{enumerate}
}
