\ANG{
Berechne die L"osungsmenge:
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
2x_1-3x_2-x_3 &= 7\\
-4x_1+31x_2+7x_3 &=-9
\end{align*}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
14x_1-21x_2-7x_3 &= 49\\
-6x_1+9x_2+3x_3 &=-24
\end{align*}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
14x_1-21x_2-7x_3 &= 49\\
-6x_1+9x_2+3x_3 &=21
\end{align*}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&2x_1-3x_2-x_3 &= 7&&(1)\\
&&-4x_1+31x_2+7x_3 &=-9&&(2)\\\cline{3-4}
2\cdot (1)+(2)&:&25x_2+5x_3 &= 5&&(3)\\
(3):5&:& 5x_2+x_3&= 1&&(4)\\
\text{wir w"ahlen }&:&x_2&=\lambda&&(5)\\
(5)\text{ in }(4)&:&x_3&=1-5\lambda&&(6)\\
(5)\text{ und }(6)\text{ in }(1)&:&x_1&=4-\lambda&&(6)
\end{align*}
\[\DANN\qquad\LL=\left\{\vec x\,\vline\,\vec x=\RVEKTOR{r}{4}{0}{1}+
\lambda\RVEKTOR{r}{-1}{1}{-5},\,\,\lambda\in\RR\right\}\]
%%%
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&14x_1-21x_2-7x_3 &= 49&&(1)\\
&&-6x_1+9x_2+3x_3 &=-24&&(2)\\\cline{3-4}
(1):7&:& 2x_1-3x_2-x_3 &= 7&&(3)\\
(2):3&:& -2x_1+3x_2+x_3 &= -8&&(4)\\\cline{3-4}
(3)+(4)&:&0&=-1&&(5)\\
\end{align*}
\[\text{Widerspruch}\QDQ\LL=\emptyset\]
%%%
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&14x_1-21x_2-7x_3 &= 49&&(1)\\
&&-6x_1+9x_2+3x_3 &=-21&&(2)\\\cline{3-4}
(1):7&:& 2x_1-3x_2-x_3 &= 7&&(3)\\
(2):(-3)&:& 2x_1-3x_2-x_3 &= 7&&(4)\\\cline{3-4}
(3)+(4)&:&0&=0&&(5)\\
\end{align*}
Die beiden Gleichungen (3) und (4) sind identisch, die L"osungsmenge $\LL$ des Systems ist 
also gleich der L"osungsmenge $\LL_1$ von (1) bzw. (3). Interpretiert man die Elemente von 
$\LL$ als Punkte im $\RR^3$, dann ist $\LL$ die durch (3) beschriebene Ebene mit dem
Normalenvektor $\vec n=\RVEKTOR{r}{2}{-3}{-1}$ und z.B. dem Aufpunkt
$\RPUNKT{A}{3{,}5}{0}{0}$.
\end{enumerate}
}
