\ANG{
Berechne die L"osungsmenge:
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
5x_1+3x_2-x_3 &= 15\\
-2x_1+2x_2+x_3 &=-13\\
3x_1-x_2-2x_3 &= 16
\end{align*}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
5x_1+3x_2-x_3 &= 15\\
-2x_1+2x_2+x_3 &=-13\\
-15x_1-9x_2+3x_3 &= -45
\end{align*}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
5x_1+3x_2-x_3 &= 15\\
10x_1+6x_2-2x_3 &=30\\
-15x_1-9x_2+3x_3 &= -45
\end{align*}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
5x_1+3x_2-x_3 &= 15\\
10x_1+6x_2-2x_3 &=30\\
-15x_1-9x_2+3x_3 &= -42
\end{align*}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(1)\\
&&-2x_1+2x_2+x_3 &=-13&&(2)\\
&&3x_1-x_2-2x_3 &= 16&&(3)\\\cline{3-4}
(1)&:& 5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(4)\\
2\cdot (1)+5\cdot (2)&:& 16x_2+3x_3 &= -35&&(5)\\
3\cdot (1)-5\cdot (3)&:& 14x_2+7x_3 &= -35&&(6)\\\cline{3-4}
(4)&:& 5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(7)\\
(5)&:& 16x_2+3x_3 &= -35&&(8)\\
7\cdot (5)-8\cdot (6)&:& -35x_3 &= 35&&(9)\\\cline{3-4}
(9)\QDQ&&x_3&=-1&&(10)\\
(10)\text{ in }(8)&:&x_2&=-2&&(11)\\
(10)\text{ und }(11)\text{ in }(7)&:&x_1&=4
\end{align*}
\[\QDQ\LL=\{(4|{-2}|{-1})\}\]
%%%
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(1)\\
&&-2x_1+2x_2+x_3 &=-13&&(2)\\
&&-15x_1-9x_2+3x_3 &= -45&&(3)\\\cline{3-4}
(1)&:& 5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(4)\\
2\cdot (1)+5\cdot (2)&:& 16x_2+3x_3 &= -35&&(5)\\
(3):(-3)&:&5x_1+3x_2-x_3 &= 15 &&(6)\\
(4)\text{ und }(6)\text{ identisch}&&\DANN (6)\text{ f"allt weg}&&&\\\cline{3-4}
\text{wir w"ahlen }&:&x_3&=\lambda&&(7)\\
(7)\text{ in }(5)&:&x_2&=-\frac{35}{16}-\frac{3\lambda}{16}&&(8)\\
(7)\text{ und }(8)\text{ in }(4)&:&x_1&=\frac{69}{16}+\frac{5\lambda}{16}&&(9)
\end{align*}
\[\mu=\frac{\lambda}{16}\DANN\qquad\LL=\left\{\vec x\,\vline\,\vec x=\frac 1{16}\RVEKTOR{r}{69}{-35}{0}+
\mu\RVEKTOR{r}{5}{-3}{16},\,\,\mu\in\RR\right\}\]
%%%
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(1)\\
&&10x_1+6x_2-2x_3 &=30&&(2)\\
&& -15x_1-9x_2+3x_3&= -45&&(3)\\\cline{3-4}
(1)&:&  5x_1+3x_2-x_3&= 15&&(4)\\
(2):2&:&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(5)\\\
(3):(-3)&:& 5x_1+3x_2-x_3&=15&&(6)\\
\end{align*}
Alle drei Gleichungen sind identisch, die L"osungsmenge $\LL$ des Systems ist 
also gleich der L"osungsmenge $\LL_1$ von (1). Interpretiert man die Elemente von 
$\LL$ als Punkte im $\RR^3$, dann ist $\LL$ die durch (1) beschriebene Ebene mit dem
Normalenvektor $\vec n=\RVEKTOR{r}{5}{3}{-1}$ und z.B. dem Aufpunkt
$\RPUNKT{A}{0}{0}{-15}$.
%%%
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
&&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(1)\\
&&10x_1+6x_2-2x_3 &=30&&(2)\\
&& -15x_1-9x_2+3x_3&= -42&&(3)\\\cline{3-4}
(1)&:&  5x_1+3x_2-x_3&= 15&&(4)\\
(2):2&:&5x_1+3x_2-x_3 &= 15&&(5)\\
(3):(-3)&:& 5x_1+3x_2-x_3&=14&&(6)\\\cline{3-4}
(5)-(6)&:&0&=1
\end{align*}
\[\text{Widerspruch}\QDQ\LL=\emptyset\]
\end{enumerate}
}
