\ANG{
Gegeben sind die Punkte A$(5|{-3}|{-2})$, B$(-3|2|4)$, C$(1|6|2)$ und D$(4|1|4)$. Durch 
A, B und C ist die Ebene $E_{1}$, durch A, B und D die Ebene $E_{2}$ festgelegt. Mit
$E_{ik}$ wird die $x_{i}x_{k}$-Ebene bezeichnet.
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichungen der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in Normalenform auf.
\item Berechne die Achsenpunkte der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ (Schnittpunkte mit den
  Koordinatenachsen).
\item Die Schnittgeraden der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ mit der $x_{1}x_{2}$-Ebene
  (Spurgeraden) sind $g_{1}=E_{1}\cap E_{12}$ und $g_{2}=E_{2}\cap E_{12}$. Stelle
  die Gleichungen dieser Geraden in der Form $x_{2}=f(x_{1})$ auf.
\item F$(5|4|f_{3})\in E_{1}$ und G$(1|g_{2}|3)\in E_{2}$. Berechne die fehlenden
  Koordinaten. 
\item Veranschauliche die Lage der Ebenen in einem Schr"agbild. Zeichne alle
  beschriebenen Punkte ein.
\item Berechne den (spitzen) Schnittwinkel der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
$\D\VPFEIL{\text{AB}}=\RVEKTOR{r}{-8}{5}{6}$,\quad
 $\D\VPFEIL{\text{AC}}=\RVEKTOR{r}{-4}{9}{4}$,\quad
 $\D\VPFEIL{\text{AD}}=\RVEKTOR{r}{-1}{4}{6}$
\[\vec{n}_{1}\,'=\VPFEIL{\text{AB}}\times\VPFEIL{\text{AC}}=
\left|\begin{array}[c]{rrr}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
-8&5&6\\
-4&9&4
\end{array}\right|=
\RVEKTOR{c}{-34}{8}{-52}=2\RVEKTOR{r}{-17}{4}{26},\quad
\vec{n}_{1}=\RVEKTOR{r}{-17}{4}{26}
\]
\[\vec{n}_{2}\,'=\VPFEIL{\text{AB}}\times\VPFEIL{\text{AD}}=
\left|\begin{array}[c]{rrr}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
-8&5&-6\\
-1&4&6
\end{array}\right|=
\RVEKTOR{r}{6}{42}{-27}=3\RVEKTOR{r}{2}{14}{-9},\quad
\vec{n}_{2}=\RVEKTOR{r}{2}{14}{-9}
\]
Mit $\vec a=\VPFEIL{\text{OA}}=\RVEKTOR{r}{5}{-3}{-2}$ folgt 
$\vec n_{1}\vec a=-45$ und  $\vec n_{2}\vec a=-14$
und damit
\[\vec{n}_{1}(\vec x-\vec a)=0\QDQ E_{1}:\,\,-17x_1+4x_2-26x_3+45=0\]
\[\vec{n}_{2}(\vec x-\vec a)=0\QDQ E_{2}:\,\,2x_1+14x_2-9x_3+14=0\]
\item Achsenpunkte von $E_{1}$:
$\text{A}_{11}\left(\frac{45}{17}\,\vline\, 0\,\vline\, 0\right)$, 
$\text{A}_{12}\left(0\,\vline\, -\frac{45}{4}\,\vline\, 0\right)$, 
$\text{A}_{13}\left(0\,\vline\, 0\,\vline\, \frac{45}{26}\right)$\\[2mm]
Achsenpunkte von $E_{2}$:
$\text{A}_{21}\left(-7\,\vline\, 0\,\vline\, 0\right)$, 
$\text{A}_{22}\left(0\,\vline\, -1\,\vline\, 0\right)$, 
$\text{A}_{23}\left(0\,\vline\, 0\,\vline\, \frac{14}{9}\right)$
\item 
$\D g_{1}:\quad -17x_1+4x_2+45=0\QDQ x_{2}=\frac{17}{4}x_{1}-\frac{45}{4}$\\[2mm]
$\D g_{2}:\quad 2x_1+14x_2+14=0\QDQ x_{2}=-\frac{1}{7}x_{1}-1$
\item $\D -17\cdot 5+4\cdot 4-26f_3+45=0 \QDQ f_{3}=-\frac{12}{13}$\\[2mm]
 $\D 2\cdot 1+14\cdot g_{2}-9\cdot 3+14=0 \QDQ g_{2}=\frac{11}{14}$
\item \mbox{}

\EPSC{12rr0651}{12cm}{}{
\PSFM{5}{5} \PSFM{A12}{A$_{12}$} \PSFM{A11}{A$_{11}$} \PSFM{A21}{A$_{21}$} 
\PSFM{A22}{A$_{22}$} 
\PSFM{m10}{$-10$} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$}
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D}   
}
\item $\D\cos\varphi=\frac{\vec{n}_1\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}=
\frac{256}{3\sqrt{109}\cdot\sqrt{281}}=0{,}4876\QDQ\varphi=60{,}82^\circ$
\end{enumerate}
}
