\ANG{
Gegeben sind die Punkte $\RPUNKT{A}{3}{-2}{1}$,  $\RPUNKT{B}{1}{4}{4}$ und  
$\RPUNKT{C}{5}{6}{2}$ sowie der Vektor 
\[\vec u=\RVEKTOR{r}{-3}{2}{z}.\]
Die Gerade $g$ enth"alt die Punkte A und B, die Gerade $h$ enth"alt den Punkt C und ist 
parallel zu $\vec u$.
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichungen von $g$ und $h$ auf.
\item Berechne die Koordinaten des Spurpunktes G von $g$ in der $x_1x_2$-Ebene.
$g'$ und $h'$ sind die Projektionen von $g$ und $h$, parallel zur $x_3$-Achse, in die $x_1x_2$-Ebene.
Stelle die Gleichungen von $g'$ und $h'$ in der Parameterform auf.
\item $z$ wird so gew"ahlt, dass sich $g$ und $h$ schneiden. Berechne $z$ und die Koordinaten
des Schnittpunktes S.
\item Erstelle ein Schr"agbild mit allen gegebenen und berechneten geometrischen Gr"o"sen.
\item  Berechne die Koordinaten des Spurpunktes H von $h$ in der $x_1x_2$-Ebene.
F ist der Fu"spunkt des Lotes von S auf die $x_1x_2$-Ebene. Berechne das Volumen der
Pyramide GHFS.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\vec v=\VPFEIL{\mathrm{AB}}=\RVEKTOR{r}{-2}{6}{3}\QDQ$
\[g:\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{3}{-2}{1}+\lambda\RVEKTOR{r}{-2}{6}{3},\qquad
h:\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{5}{6}{2}+\mu\RVEKTOR{r}{-3}{2}{z}\]
\item $\D x_3=1+3\lambda=0\QDQ\lambda=-\frac 13\QDQ\RPUNKT{G}{\frac{11}{3}}{-4}{0}$.
\[g':\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{3}{-2}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{-2}{6}{0},\qquad
h':\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{5}{6}{0}+\mu\RVEKTOR{r}{-3}{2}{0}\]
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
g\cap h&:&3-2\lambda &= 5-3\mu&&(1)\\
&&-2+6\lambda &= 6+2\mu&&(2)\\
&&1+3\lambda &= 2+z\mu&&(3)\\\cline{3-4}
&&-2\lambda+3\mu &= 2&&(4)\\
&&6\lambda-2\mu &= 8&&(5)\\
&&3\lambda-z\mu &= 1&&(6)\\\cline{3-4}
3\cdot(4)+(5)&:& 7\mu &= 14\,\,\DANN\,\,\mu=2&&(7)\\
(7)\text{ in }(4)&:&-2\lambda+6 &= 2\,\,\DANN\,\,\lambda=2&&(8)\\
(7),(8)\text{ in }(6)&:&6-2z &= 1\,\,\DANN\,\,z=2{,}5&&(9)
\end{align*}
$(8)$ in $g\QDQ\RPUNKT{S}{-1}{10}{7}$
\item \EPSC{12rr0891}{12cm}{}{
\PSFM{2}{2} \PSFM{8}{8} \PSFM{7}{7} \PSFM{g}{$g$}
\PSFM{h}{$h$} \PSFM{hs}{$h'$}  \PSFM{gs}{$g'$} \PSFM{G}{G} 
\PSFM{H}{H} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{u}{$\vec u$}  
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{S}{S} \PSFM{F}{F}    
}
\item $\D x_3=2+\frac 52\mu=0\QDQ\mu=-\frac 45\QDQ\RPUNKT{H}{7{,}4}{4{,}4}{0}$.
$\RPUNKT{F}{-1}{10}{0}$.\\[2mm]
$\VPFEIL{\mathrm{HF}}=\RVEKTOR{r}{-8{,}4}{5{,}6}{0}=
\RVEKTOR{c}{-\frac{42}5}{\frac{28}{5}}{0}=\frac{14}5\RVEKTOR{r}{-3}{2}{0}$,\quad
$\VPFEIL{\mathrm{HG}}=
\RVEKTOR{c}{-\frac{56}{15}}{-\frac{42}{5}}{0}=-\frac{14}{15}\RVEKTOR{r}{4}{9}{0}$
\[\VPFEIL{\mathrm{HF}}\times\VPFEIL{\mathrm{HG}}=\frac{14^2}{75}\RVEKTOR{c}{0}{0}{35}
\QDQ
V=\frac 12\cdot|\VPFEIL{\mathrm{HF}}\times\VPFEIL{\mathrm{HG}}|\cdot\overline{\mathrm{FS}}=
\frac{14^2\cdot 35\cdot 7}{150}=\frac{4802}{15}\approx320\]
\end{enumerate}
}
