\ANG{
Gegeben sind die Ebenen $E_1$ und $E_2$ durch die Gleichungen
\begin{align*}
E_1:&\quad 5x_1-4x_2+5x_3-20=0\\
E_2:&\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{2}{0}{2}
+\lambda\RVEKTOR{r}{-1}{1}{0}+\mu\RVEKTOR{r}{-1}{0}{1}
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A$_1$, A$_2$ und A$_3$ von $E_1$
und gib eine Gleichung von $E_1$ in der Parameterform an.
\item Gib eine Gleichung von $E_2$ in der Normalenform an.

[Ein m"ogliches Ergebnis:\quad $-3x_1-3x_2-3x_3+12=0$]
\item Die Achsenpunkte von $E_2$ seien B$_1$, B$_2$ und B$_3$. Wie lauten ihre Koordinaten?

[Zur Kontrolle: $\RPUNKT{B_2}{0}{4}{0}$]
\item Die Gerade $g$ ist das Lot auf $E_2$ in B$_2$. Schreibe die Gleichung von $g$ hin und Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S von $g$ mit $E_1$.
\item Zeichne die Spurgeraden der beiden Ebenen sowie und S und $g$ in ein Schr"agbild.
\item Berechne das Volumen der Pyramide B$_1$B$_2$B$_3$S.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D E_1:\quad\frac{x_1}{4}-\frac{x_2}{5}+\frac{x_3}{4}=1\QDQ
\RPUNKT{A_1}{4}{0}{0},\,\,\RPUNKT{A_2}{0}{-5}{0},\,\,\RPUNKT{A_3}{0}{0}{4}$.
\[E_1:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{A}}_1+
\nu\VPFEIL{\mathrm{A_2A}}_1+\sigma\VPFEIL{\mathrm{A_2A}}_3=
\RVEKTOR{r}{4}{0}{0}
+\lambda\RVEKTOR{r}{4}{5}{0}+\mu\RVEKTOR{r}{0}{5}{4}\]
\item $\D\vec n=\RVEKTOR{r}{-1}{1}{0}\times\RVEKTOR{r}{-1}{0}{1}=
\left|\begin{array}{ccc}
\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\
-1 & 1 & 0\\
-1 & 0 &1
\end{array}\right|=\RVEKTOR{r}{1}{1}{1},\quad
\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}\cdot\RVEKTOR{r}{2}{0}{2}=4$
\[E_2:\quad x_1+x_2+x_3-4=0\]
\item $\D E_2:\quad\frac{x_1}{4}+\frac{x_2}{4}+\frac{x_3}{4}=1\QDQ
\RPUNKT{B_1}{4}{0}{0},\,\,\RPUNKT{B_2}{0}{4}{0},\,\,\RPUNKT{B_3}{0}{0}{4}$.
\item $g:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{B}}_2+t\cdot\vec n=\RVEKTOR{r}{0}{4}{0}
+t\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}$\\[2mm]
$g$ in $E_1$: $\D 5t-4(4+t)+5t-20=0\QDQ t=6\QDQ\RPUNKT{S}{6}{10}{6}$
\item\mbox{}
\vspace{-5mm}
\EPSC{12rr0901}{12cm}{}{
\PSFM{2}{2} \PSFM{5}{5} \PSFM{7}{7} \PSFM{g}{$g$}
\PSF{A1}{A$_1=\text{B}_1$} \PSFM{A2}{A$_2$}  \PSF{A3}{A$_3=\text{B}_3$} \PSFM{B2}{B$_2$} 
\PSFM{H}{H} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{u}{$\vec u$}  
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{S}{S} \PSFM{F}{F}    
}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
V &= \frac 13\cdot\frac 12\cdot
|\VPFEIL{\mathrm{B_1B}}_2\times\VPFEIL{\mathrm{B_1B}}_3|\cdot\overline{\mathrm{B_2S}}=
\frac 16\left|\RVEKTOR{r}{-4}{4}{0}\times\RVEKTOR{r}{-4}{0}{4}\right|
\cdot\left|\RVEKTOR{r}{6}{6}{6}\right|=\\
 &= \frac{4^2\cdot 6}{6}\cdot\left|\RVEKTOR{r}{-1}{1}{0}\times\RVEKTOR{r}{-1}{0}{1}\right|
\cdot\left|\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}\right|=
 16\cdot\left|\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}\right|\cdot\left|\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}\right|=
16\cdot\sqrt{3}\,^2=48
\end{align*}
\end{enumerate}
}
