\ANG{
Gegeben sind die Ebenen
\begin{align*}
E_1:\quad \vec x&=\RVEKTOR{r}{3}{3}{3}+\lambda\RVEKTOR{r}{2}{-1}{1}+\mu\RVEKTOR{r}{1}{-2}{2},
&&E_2:\quad \vec x&=\RVEKTOR{r}{6}{0}{6}+\sigma\RVEKTOR{r}{0}{1}{-1}+\tau\RVEKTOR{r}{1}{0}{0}\\
E_3:\quad \vec x&=\RVEKTOR{r}{2}{2}{2}+r\RVEKTOR{r}{1}{-1}{1}+s\RVEKTOR{r}{1}{1}{-1},
&&E_4:\quad \vec x&=\RVEKTOR{r}{1}{1}{1}+t\RVEKTOR{r}{1}{1}{0}+k\RVEKTOR{r}{5}{-4}{5}
\end{align*}
Berechne alle Schnittmengen zwischen jeweils zwei der gegebenen Ebenen.
} 
\LSG{
Man verschafft sich zun"achst einen "Uberblick, indem man mit Hilfe des Kreuzprodukts 
Normalenvektoren der Ebenen berechnet:
\[\vec n_1=\vec n_2=\vec n_3=\RVEKTOR{r}{0}{1}{1},\quad
\vec n_4=\RVEKTOR{r}{5}{-5}{-9}\]
Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform:
\begin{align*}
E_1&:&x_2+x_3-6&=0&(1)&\\
E_2&:&x_2+x_3-6&=0&(2)&\\
E_3&:&x_2+x_3-4&=0&(3)&\\
E_4&:&5x_1-5x_2-9x_3+9&=0&(4)&
\end{align*}
\[E_1\cap E_2=E_1=E_2,\quad E_1\cap E_3=E_2\cap E_3=\emptyset\]
$E_1\cap E_4$: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen $x_3=\lambda$:
\begin{align*}
(1)&\DANN&x_2&=6-\lambda&(5)&\\
(4)&\DANN&5x_1-5x_2&=9\lambda-9&(6)&\\
(5)\text{ in }(6)&:&5x_1-30+5\lambda&=9\lambda-9&(7)&\\
&&x_1&=\frac 45\lambda+\frac{21}5&&
\end{align*}
\[E_1\cap E_4=E_2\cap E_4=g:\quad
\vec x=\RVEKTOR{c}{\frac{21}5}{6}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{\frac{4}5}{-1}{1}=
\RVEKTOR{c}{5}{5}{1}+\mu\RVEKTOR{r}{4}{-5}{5}\]
$E_3\cap E_4$: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen $x_3=\lambda$:
\begin{align*}
(3)&\DANN&x_2&=4-\lambda&(8)&\\
(4)&\DANN&5x_1-5x_2&=9\lambda-9&(9)&\\
(5)\text{ in }(6)&:&5x_1-20+5\lambda&=9\lambda-9&(10)&\\
&&x_1&=\frac 45\lambda+\frac{11}5&&
\end{align*}
\[E_3\cap E_4=h:\quad
\vec x=\RVEKTOR{c}{\frac{11}5}{4}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{\frac{4}5}{-1}{1}=
\RVEKTOR{c}{3}{3}{1}+\mu\RVEKTOR{r}{4}{-5}{5}\]
}
