\ANG{
Berechne die Schnittmengen der Ebene 
$E:\,\,4x_1+7x_2+4x_3-20=0$ mit den Ebenen
\[
E_1:\quad \vec x=\RVEKTOR{r}{4}{-2}{3}+\lambda\RVEKTOR{r}{6}{-2}{3}+\mu\RVEKTOR{r}{3}{-2}{2}
\quad\text{und}\quad E_2:\quad -x_1+5x_2-x_3-22=0
\]
} 
\LSG{
Mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet man den  
Normalenvektor von $E_1$:
\[\vec n_1=\RVEKTOR{r}{2}{-3}{-6}\]
Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform:
\begin{align*}
E&:&4x_1+7x_2+4x_3-20&=0&(1)&\\
E_1&:&2x_1-3x_2-6x_3+4&=0&(2)&\\
E_2&:&-x_1+5x_2-x_3-22&=0&(3)&
\end{align*}
$E\cap E_1$: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen $x_3=\lambda$:
\begin{align*}
E&:&4x_1+7x_2+4\lambda-20&=0&(4)&\\
E_1&:&2x_1-3x_2-6\lambda+4&=0&(5)&\\\cline{2-4}
(4)-2\cdot(5)&:& 13x_2+16\lambda &=28&(6)&\\
&&x_2&=\frac{28}{13}-\frac{16}{13}\lambda&(7)&\\
(7)\text{ in }(4)&:&4x_1+\frac{7\cdot 28}{13}-\frac{7\cdot 16}{13}\lambda+4\lambda&=20\,|\,:4&(8)&\\
&&x_1+\frac{49}{13}-\frac{28}{13}\lambda+\lambda&=5&(9)&\\
&&x_1&=\frac{16}{13}+\frac{15}{13}\lambda&(10)&
\end{align*}
\[E\cap E_1=g:\quad
\vec x=\frac 1{13}\RVEKTOR{c}{16}{28}{0}+\frac{\lambda}{13}\RVEKTOR{r}{15}{-16}{13}=
\RVEKTOR{c}{-8}{12}{-8}+\mu\RVEKTOR{r}{15}{-16}{13}\]
$E\cap E_2$: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen $x_3=\lambda$:
\begin{align*}
E&:&4x_1+7x_2+4\lambda-20&=0&(11)&\\
E_2&:&-x_1+5x_2-\lambda-22&=0&(12)&\\\cline{2-4}
(11)+4\cdot(12)&:& 27x_2 &=108&(13)&\\
&&x_2&=4&(14)&\\
(14)\text{ in }(12)&:&x_1&=-2-\lambda&(15)&
\end{align*}
\[E\cap E_2=h:\quad
\vec x=\RVEKTOR{r}{-2}{4}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{-1}{0}{1}\]
}
