\ANG{
F ist der Fu"spunkt des Lotes von P auf $E$, P$'$ ist der an $E$ gespiegelte Punkt P.
Bestimme die HNF von $E$ und berechne den Abstand $d(\text{P},E)$ und die Koordinaten
von F und P$'$.
\begin{enumerate}
\item $E:\quad \vec x=\RVEKTOR{r}{4}{-2}{3}+\lambda\RVEKTOR{r}{6}{-2}{3}+
\mu\RVEKTOR{r}{3}{-2}{2}$, 
$\RPUNKT{P}{-4}{5}{-2}$
\item $E:\quad 9x_1+12x_2+20x_3-205=0$, 
$\RPUNKT{P}{-6}{22}{31}$
\item $E$ enth"alt die parallelen Geraden 
\[g:\,\,\vec x=\RVEKTOR{r}{-5}{3}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}\text{ und } 
h:\,\,\vec x=\RVEKTOR{r}{7}{-1}{2}+\lambda\RVEKTOR{r}{0}{1}{1},\quad \RPUNKT{P}{5}{4}{-3}
\]
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\vec n=\RVEKTOR{r}{6}{-2}{3}\times\RVEKTOR{r}{3}{-2}{2}=\RVEKTOR{r}{2}{-3}{-6}$,\quad
$\RVEKTOR{r}{2}{-3}{-6}\cdot\RVEKTOR{r}{4}{-2}{3}=8+6-18=-4\quad\DANN$
\begin{align*}
E&:&2x_1-3x_2-6x_3+4&=0&&\\
\text{HNF von }E&:&-\frac 27 x_1+\frac 37 x_2+\frac 67 x_3-\frac 47&=0&&
\end{align*}
\[d(\mathrm{P},E)=\frac{-2\cdot(-4)+3\cdot 5+6\cdot(-2)-4}7=1\]
\[\vec n_0=\frac 17\RVEKTOR{r}{-2}{3}{6}\QDQ
\vec F=\vec P-d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\frac 17\RVEKTOR{r}{-26}{32}{-20}\]
\[\vec P'=\vec P-2\cdot d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\frac 17\RVEKTOR{r}{-24}{29}{-26}\]
\item HNF von $E$:\hspace{25mm}$\D\frac{9x_1+12x_2+20x_3-205}{25}=0$
\[d(\mathrm{P},E)=\frac{9\cdot(-6)+12\cdot 22+20\cdot 31-205}{25}=25\]
\[\vec n_0=\frac{1}{25}\RVEKTOR{r}{9}{12}{20}\QDQ
\vec F=\vec P-d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\RVEKTOR{r}{-15}{10}{11}\]
\[\vec P'=\vec P-2\cdot d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\RVEKTOR{r}{-24}{-2}{-9}\]
\item Richtungsvektoren von $E$:
\[\vec v=\RVEKTOR{r}{0}{1}{1},\quad\vec u=\frac 12\VPFEIL{\mathrm{AB}}=\RVEKTOR{r}{6}{-2}{1},\quad
\vec n'=\vec u\times\vec v=-3\RVEKTOR{r}{1}{2}{-2},\quad\vec n=\RVEKTOR{r}{1}{2}{-2}\]
HNF von $E$:\hspace{25mm}$\D\frac{x_1+2x_2-2x_3-1}{3}=0$
\[d(\mathrm{P},E)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4-2\cdot(-3)-1}{3}=6\]
\[\vec n_0=\frac{1}{3}\RVEKTOR{r}{1}{2}{-2}\QDQ
\vec F=\vec P-d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\RVEKTOR{r}{3}{0}{1}\]
\[\vec P'=\vec P-2\cdot d(\mathrm{P},E)\cdot\vec n_0=\RVEKTOR{r}{1}{-4}{5}\]
\end{enumerate}
}
