\ANG{
Die Ebene $E_1$ enth"alt die Punkte $\RPUNKT{A}{3}{6}{1}$, $\RPUNKT{B}{-3}{6}{5}$ und 
$\RPUNKT{C}{-3}{-3}{3}$. 
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichung von $E_1$ in der vektorfreien Normalenform mit m"oglichst kleinen ganzen Zahlen auf.
\item Eine weitere Ebene $E_2$ ist durch die Gleichung
\[E_2:\quad 6x_1+6x_2+7x_3+15=0\]
gegeben. Berechne den (spitzen) Schnittwinkel der Ebenen $E_1$ und $E_2$.
\item Untersuche, ob $\mathrm{C}\in E_2$ gilt.
\item $s_1$ und $s_2$ sind die Spurgeraden von $E_1$
 und $E_2$ in der $x_1x_2$-Ebene. Schreibe die Gleichungen von $s_1$ und $s_2$
in der Form $x_2=f(x_1)$ und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Spurgeraden.
\item Zeichne alle bisher gegebenen und berechneten Gr"o"sen in ein Schr"agbild. Zeichne auch die noch fehlenden Spurgeraden von $E_2$ ein.
\item Zeichne die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ in das Schr"agbild ein. Gib eine kurze Begr"undung deines Vorgehens.

\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\VPFEIL{\text{AB}}=\RVEKTOR{r}{-6}{0}{4}=2\RVEKTOR{r}{-3}{0}{2}$,\quad
 $\D\VPFEIL{\text{AC}}=\RVEKTOR{r}{-6}{-9}{2}$,\quad
$\vec{n}_1'=\VPFEIL{\text{AB}}\times\VPFEIL{\text{AC}}=\RVEKTOR{r}{36}{-12}{54}$
%\[\vec{n}_1'=\VPFEIL{\text{AB}}\times\VPFEIL{\text{AC}}=
%\left|\begin{array}[c]{rrr}
%\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
%-6&0&4\\
%-6&-9&2
%\end{array}\right|=\RVEKTOR{c}{0-4\cdot (-9)}
%                                                {4\cdot(-6)-(-6)\cdot 2}
%                                                {(-6)\cdot (-9)-0}=
%\RVEKTOR{r}{36}{-12}{54}
%\]
\[\vec{n}_1'=6\RVEKTOR{r}{6}{-2}{9},\quad\text{wir w"ahlen}\quad
\vec{n}_1=\RVEKTOR{r}{6}{-2}{9}\]
Mit $\vec a=\VPFEIL{\text{OA}}=\RVEKTOR{r}{3}{6}{1}$ folgt 
$\vec n_1\vec a=6\cdot 3-2\cdot 6+9\cdot 1=15$ 
und damit
\[\vec{n}_1(\vec x-\vec a)=0\QDQ E_1:\,\,6x_1-2x_2+9x_3-15=0\]
\item $\D\vec n_2=\RVEKTOR{r}{6}{6}{7}$,
$\D |\vec n_1|=\sqrt{6^2+2^2+9^2}=\sqrt{121}=11$,
$\D |\vec n_2|=\sqrt{6^2+6^2+7^2}=\sqrt{121}=11$
\[\cos\varphi=\frac{\vec n_1\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}=
\frac{87}{121}\QDQ\varphi=44{,}03^\circ\]
\item C in $E_2$: $6\cdot(-3)+6\cdot(-3)+7\cdot 3+15=0\QDQ\mathrm{C}\in E_2$
\item $x_3=0$ in $E_1$:\quad $6x_1-2x_2=15\,\,\,\,\,\QDQ s_1:\,\, x_2=3x_1-7{,}5$\\[2mm]
$x_3=0$ in $E_2$:\quad $6x_1+6x_2=-15\QDQ s_2:\,\, x_2=-x_1-2{,}5$
\[s_1\cap s_s:\quad 3x_1-7{,}5=-x_1-2{,}5\QDQ x_1=\frac 54\]
\[x_2=\frac{15}4-\frac{15}2=-\frac{15}4\QDQ
\RPUNKT{S}{\frac 54}{-\frac{15}4}{0}=\RPUNKT{S}{1{,}25}{-3{,}75}{0}\]
\item Achsenpunkte von $E_2$: $\RPUNKT{A_1}{-2{,}5}{0}{0}$, 
$\RPUNKT{A_2}{0}{-2{,}5}{0}$, $\RPUNKT{A_3}{0}{0}{-\frac{15}7}$
\EPSC{12rr0721}{12cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{m7}{$-7$}
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$}
\PSFM{A1}{A$_1$} \PSFM{A2}{A$_2$} \PSFM{7}{7} \PSFM{C}{C}   \PSFM{S}{S}   
\PSFM{s1}{$s_1$} \PSFM{s2}{$s_2$} \PSFM{g}{$g$} \PSFM{n1}{$\vec n_1$}  
\PSFM{n2}{$\vec n_2$}   
}
\item Da $E_1$ und $E_2$ nicht parallel sind ($\vec n_1\not\|\vec n_2$) ist die gesuchte Schnittmenge 
eine Gerade $g$. Wir kennen zwei Punkte, die in beiden Ebenen liegen: S und C. Also ist
\[E_1\cap E_2=g=\mathrm{SC}\]
\end{enumerate}
}
