\ANG{
Gegeben sind die Geraden
\[g:\quad\vec x=\vec a+\lambda\vec u,\,\,\lambda\in\RR\quad\text{und}\quad
h:\quad\vec x=\vec b+\mu\vec v,\,\,\mu\in\RR\]
mit
\[\vec a=\RVEKTOR{r}{13}{0}{-1},\quad\vec u=\RVEKTOR{r}{-4}{3}{1},\quad
\vec b=\RVEKTOR{r}{2}{8}{10}\quad\text{und}\quad\vec v=\RVEKTOR{r}{2}{0}{-1}\]
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten der Spurpunkte der beiden Geraden und zeichne die
Geraden mit Spurpunkten in ein Schr"agbild (verwende f"ur die Zeichnung eine
ganze Seite im Hochformat). Zeichne auch die Projektionen $g'$ und $h'$ der beiden 
Geraden in die $x_1x_2$-Ebene ein. Wo schneiden sich $g'$ und $h'$?
\item Zeige, dass die Geraden windschief sind und berechne ihren Abstand $d$.
\item Berechne die Koordinaten der Punkte $\mathrm{P}\in g$ und 
$\mathrm{Q}\in h$ mit $\overline{\mathrm{PQ}}=d$ und zeichne sie in das Schr"agbild ein.
\item Wir stellen uns $g$ und $h$ als straff gespannte Stahlseile vor. An $h$ ist ein weiteres Seil der L"ange $s$ befestigt, das senkrecht nach unten h"angt (parallel zur $x_3$-Achse) und dessen 
Aufh"angepunkt frei auf $h$ gleitet. Wie gro"s darf $s$ h"ochstens sein, damit das untere Ende des gleitenden Seils die Gerade $g$ niemals ber"uhrt? 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Spurpunkte von $g$:\quad $\RPUNKT{G_{12}}{9}{3}{0}$, $\RPUNKT{G_{13}}{13}{0}{-1}=A$, 
$\RPUNKT{G_{23}}{0}{9{,}75}{2{,}25}$\\[2mm]
Spurpunkte von $h$:\quad $\RPUNKT{H_{12}}{22}{8}{0}$, kein H$_{13}$, da $h$ parallel zur 
$x_1x_3$-Ebene, $\RPUNKT{H_{23}}{0}{8}{11}$\\[2mm]
Setzt man die $x_2$-Komponenten der Geradengleichungen gleich, dann folgt
$\lambda=\frac 83$ und damit f"ur den Schnittpunkt von $g'$ und $h'$: 
$\RPUNKT{S'}{\frac 73}{8}{0}$.
\EPSC{12rr0921}{12cm}{}{
\PSFM{11}{11} \PSFM{8}{8}\PSFM{2}{2}  \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} 
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A}\PSFM{B}{B}  \PSFM{P}{P} \PSFM{Q}{Q} 
\PSFM{G12}{G$_{12}$} \PSFM{G23}{G$_{23}$} \PSFM{H12}{H$_{12}$} 
\PSFM{H23}{H$_{23}$} \PSFM{5}{5}  \PSFM{g}{$g$} \PSFM{h}{$h$}  \PSFM{d}{$d$} 
\PSFM{Ss}{S$'$} \PSFM{S}{S} \PSFM{s}{$s$} \PSFM{T}{T} 
}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
g\cap h&:&4\lambda+2\mu &= 11&&(1)\\
&&3\lambda &= 8&&(2)\\
&&\lambda+\mu &= 11&&(3)\\\cline{3-4}
(2)\text{ und }(3)&\DANN&\lambda=\frac 83,\quad\mu&=\frac{25}3 &&(4)\\
(4)\text{ in }(1)&& \underbrace{\frac{82}{3}}_{\text{lS}} &\neq \underbrace{11}_{\text{rS}}&&
\end{align*}
(1) also nicht erf"ullt, d.h. $g$ und $h$ haben keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren nicht 
parallel sind, sind $g$ und $h$ windschief.
\item Ein Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren ist
\[\vec n=\RVEKTOR{r}{2}{0}{-1}\times\RVEKTOR{r}{-4}{3}{1}=\RVEKTOR{r}{3}{2}{6},\quad
\vec n_0=\frac{\vec n}{|\vec n|}=\frac 17\RVEKTOR{r}{3}{2}{6}\]
\[d=|\vec n_0(\vec b-\vec a)|=\left|\frac 17\RVEKTOR{r}{3}{2}{6}\cdot\left[
\RVEKTOR{r}{2}{8}{10}-\RVEKTOR{r}{13}{0}{-1}\right]\right|=
\frac{-33+16+66}{7}=7\]
\item Mit $\VPFEIL{\mathrm{PQ}}=d\vec n_0$, $\vec P=\vec a+\lambda\vec u$, 
$\vec Q=\vec b+\mu\vec v$ und 
$\VPFEIL{\mathrm{Q}}=\VPFEIL{\mathrm{P}}+\VPFEIL{\mathrm{PQ}}$ folgt
\begin{align*}
&&13-4\lambda+3 &= 2+2\mu&&(1)\\
&&3\lambda+2 &= 8&&(2)\\
&&-1+\lambda+6 &= 10-\mu&&(3)\\\cline{3-4}
(1)\text{ und }(2)&\DANN&\lambda=2,\quad\mu&=3 &&(4)
\end{align*}
\[\VPFEIL{\mathrm{P}}=\RVEKTOR{r}{13}{0}{-1}+2\RVEKTOR{r}{-4}{3}{1}=
\RVEKTOR{r}{5}{6}{1}\QDQ\RPUNKT{P}{5}{6}{1}\]
\[\VPFEIL{\mathrm{Q}}=\RVEKTOR{r}{2}{8}{10}+3\RVEKTOR{r}{2}{0}{-1}=
\RVEKTOR{r}{8}{8}{7}\QDQ\RPUNKT{Q}{8}{8}{7}\]
\item $\mathrm{S}'\in g'\QDQ 3\lambda=8\QDQ\lambda=\frac 83$. Der Punkt $\mathrm{S}\in g$,
der senkrecht "uber S$'$ liegt, hat die Koordinaten $\RPUNKT{S}{\frac 73}{8}{\frac 53}$.

$\mathrm{S}'\in h'\QDQ 2+2\mu=\frac 73\QDQ\mu=\frac 16$. Der Punkt $\mathrm{T}\in h$,
der senkrecht "uber S$'$ liegt, hat die Koordinaten $\RPUNKT{T}{\frac 73}{8}{\frac{59}{6}}$.
Das Seil darf maximal die L"ange 
\[s=\frac{59}{6}-\frac 53=\frac{49}6=8{,}1\overline{6}\] 
haben.
\end{enumerate}
}
