\ANG{Gegeben sind die beiden Geraden
\[g:\,\,\vec x=\RVEKTOR{r}{-5}{3}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}\text{ und } 
h:\,\,\vec x=\RVEKTOR{r}{7}{-1}{2}+\lambda\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}
\]
und der Punkt $\RPUNKT{P}{5}{4}{-3}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne den Abstand $d(g,h)$ der beiden Geraden.
\item Berechne die Abst"ande $d(\mathrm{P},g)$ und $d(\mathrm{P},h)$.
\item Wie lauten die Koordinaten der Fu"spunkte F$_g$ und F$_h$ der Lote von P auf $g$ und $h$?
\item Spiegelt man P einmal an $g$ und einmal an $h$, erh"alt man P$_g$ und P$_h$ . 
Berechne die Koordinaten dieser Spiegelpunkte. Schr"agbild!
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $g\| h$, A ist Aufpunkt von $g$, B Aufpunkt von $h$: 
$\D\vec u=\VPFEIL{\mathrm{AB}}=\RVEKTOR{r}{12}{-4}{2}$,
$\vec v=\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}$\\
$\varphi$ ist der Winkel zwischen $\vec u$ und $\vec v$:
\[\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}=
\frac{-2}{2\sqrt{41}\cdot\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{2}}\]
\[\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-\frac{1}{82}}=\frac{9}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{2}}\]
\[d(g,h)=\overline{\mathrm{AB}}\sin\varphi=
\frac{9\cdot 2\sqrt{41}}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{2}}=9\sqrt{2}\]
%%
\item $\D\vec w=\VPFEIL{\mathrm{AP}}=\RVEKTOR{r}{10}{1}{-3}$,
$\vec v=\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}$, 
$\alpha$ ist der Winkel zwischen $\vec w$ und $\vec v$:
\[\cos\alpha=\frac{\vec w\cdot\vec v}{|\vec w|\cdot|\vec v|}=
\frac{-2}{\sqrt{110}\cdot\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{55}}\]
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{55}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{55}}\]
\[d(P,g)=\overline{\mathrm{AP}}\sin\alpha=
\frac{\sqrt{110}\cdot \sqrt{54}}{\sqrt{55}}=6\sqrt{3}\]
$\D\vec r=\VPFEIL{\mathrm{BP}}=\RVEKTOR{r}{-2}{5}{-5}$,
$\vec v=\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}$, 
$\beta$ ist der Winkel zwischen $\vec r$ und $\vec v$:
\[\cos\beta=\frac{\vec r\cdot\vec v}{|\vec r|\cdot|\vec v|}=0\QDQ\beta=90^\circ\]
\[d(P,h)=\overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\]
\item 
\[\vec{\mathrm{F}}_g=\vec A+\overline{\mathrm{AP}}\cos\alpha\cdot\frac{\vec v}{|\vec v|}=
\RVEKTOR{r}{-5}{3}{0}-\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{55}\sqrt{2}}\RVEKTOR{r}{0}{1}{1}=
\RVEKTOR{r}{-5}{2}{-1}\]
\[\vec{\mathrm{F}}_h=\vec B=\RVEKTOR{r}{7}{-1}{2}\]
\item \[\vec{\mathrm{P}}_g=\vec{\mathrm{F}}_g +\VPFEIL{\mathrm{PF}_g}=
\RVEKTOR{r}{-5}{2}{-1}+\RVEKTOR{r}{-10}{-2}{2}=\RVEKTOR{r}{-15}{0}{1}\]
\[\vec{\mathrm{P}}_h=\vec{\mathrm{F}}_h +\VPFEIL{\mathrm{PF}_h}=
\RVEKTOR{r}{7}{-1}{2}+\RVEKTOR{r}{2}{-5}{5}=\RVEKTOR{r}{9}{-6}{7}\]
\EPSC{12rr0951}{12cm}{}{
\PSFM{8}{8}\PSFM{2}{2}  \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} 
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A}\PSFM{B}{B}  \PSFM{P}{P} \PSFM{Fg}{F$_g$} 
\PSFM{Fh}{F$_{h}$} \PSFM{Pg}{P$_{g}$} \PSFM{Ph}{P$_{h}$} 
\PSFM{H23}{H$_{23}$} \PSFM{5}{5}  \PSFM{g}{$g$} \PSFM{h}{$h$}  \PSFM{d}{$d$} 
}
\end{enumerate}
}
