\ANG{Gegeben sind die Punkte $\RPUNKT{A}{5}{-2}{1}$ und  $\RPUNKT{P}{2}{3}{0}$, 
der Vektor $\D\vec v=\RVEKTOR{r}{-1}{2}{1}$ und die Gerade
\[g:\,\,\vec x=\vec A+\lambda\vec v,\quad\lambda\in\RR\]
\begin{enumerate}
\item Berechne den Abstand $d(\mathrm{P},g)$ des Punktes P von der Geraden $g$.
\item Berechne die Koordinaten des Fu"spunktes F des Lotes von P auf $g$.
\item Spiegelt man P an $g$, dann erh"alt man den Spiegelpunkt P$'$. 
Berechne seine Koordinaten. 
\item Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schr"agbild dar.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\varphi=\angle(\vec v,\VPFEIL{\mathrm{AP}})$
\[\VPFEIL{\mathrm{AP}}=\vec p-\vec A=\RVEKTOR{r}{-3}{5}{-1},\qquad
\cos\varphi=\frac{\vec v\cdot\VPFEIL{\mathrm{AP}}}{|\vec v|\cdot|\VPFEIL{\mathrm{AP}}|}=
\frac{12}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{35}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{35}}\]
\[d(\mathrm{P},g)=|\VPFEIL{\mathrm{AP}}|\sin\varphi=
|\VPFEIL{\mathrm{AP}}|\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{35}\cdot
\sqrt{1-\frac{24}{35}}=\sqrt{11}\]
\item Da $\cos\varphi>0$, folgt
\[\VPFEIL{\mathrm{AF}}=\frac{|\VPFEIL{\mathrm{AF}}|}{|\vec v|}\cdot\vec v=
\frac{|\VPFEIL{\mathrm{AP}}|\cos\varphi}{|\vec v|}\cdot\vec v=
\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\vec v=2\vec v=\RVEKTOR{r}{-2}{4}{2}\]
\[\vec F=\vec A+\VPFEIL{\mathrm{AF}}=\RVEKTOR{r}{3}{2}{3}\quad\text{oder}\quad
\RPUNKT{F}{3}{2}{3}\]
\item 
\[\VPFEIL{\mathrm{P}}'=\VPFEIL{\mathrm{P}}+2\VPFEIL{\mathrm{PF}}=\RVEKTOR{r}{2}{3}{0}+2\RVEKTOR{r}{1}{-1}{3}=
\RVEKTOR{r}{4}{1}{6}\quad\text{oder}\quad
\RPUNKT{P'}{4}{1}{6}\]
\item\mbox{}
\vspace{-6mm}
\EPSC{12rr0961}{10cm}{}{
\PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{P}{P} 
\PSFM{A}{A}\PSFM{v}{$\vec v$} \PSFM{F}{F} \PSFM{Ps}{P$'$} 
\PSFM{g}{$g$}  \PSFM{5}{5} \PSFM{4}{4} 
}
\end{enumerate}
}
