\ANG{
Vom Quader ABCDPQRS kennt man $\RPUNKT{A}{0}{0}{0}$, $\RPUNKT{B}{6}{0}{0}$, 
$\RPUNKT{C}{6}{10}{0}$ und $\RPUNKT{S}{0}{10}{4{,}5}$.
\begin{enumerate}
\item Wie lauten die Koordinaten der anderen Punkte des Quaders?
\item Gib eine Gleichung f"ur die Gerade $g=\mathrm{PC}$ in der Parameterform an.

Zeichne ein Schr"agbild des Quaders und zeichne $g$ ein.
\item Die Ebene $E_1$ enth"alt den Punkt S und steht senkrecht auf $g$. Stelle in 
nachvollziehbarer Weise eine 
Gleichung von $E_1$ in der (vektorfreien) Normalenform auf, deren Koeffizienten m"oglichst 
kleine ganze Zahlen sind.

[Zur Kontrolle:\quad$E_1:\quad24x_1+40x_2-18x_3-319=0$]
\item Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes F von $E_1$ mit $g$ und berechne damit
den Abstand $d(\mathrm{S},g)$ des Punktes S von der Geraden $g$. Zeichne F in das Schr"agbild ein.
\item Berechne den Abstand $d(\mathrm{B},E_1)$ des Punktes B von der Ebene $E_1$.
\item In welcher Beziehung steht die Ebene
\[E_2:\quad -3x_1+4x_3=0\]
zu unserem Quader? 
\item Wir betrachten die Geraden $a=\mathrm{AD}$ ($x_2$-Achse) und $h=\mathrm{QR}$.
Berechne die Koordinaten der Punkte A$_2$ und T mit $\{\mathrm{A}_2\}=E_1\cap a$
und $\{\mathrm{T}\}=E_1\cap h$.
Weiter gilt $\{\mathrm{Y}\}=E_1\cap \mathrm{BC}$ mit $\RPUNKT{Y}{6}{\frac{35}8}{0}$
(Beweis nicht erforderlich). Veranschauliche die Ebenen $E_1$ und $E_2$, indem du die Schnittmengen
dieser Ebenen mit unserem Quader (Parallelogramme) mit verschiedenen Farben in das Schr"agbild einzeichnest.
\item Stelle eine Gleichung der Schnittgeraden $s=E_1\cap E_2$ mit m"oglichst einfachen Zahlenwerten auf. 
Zeichne $s$ in das Schr"agbild ein.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\RPUNKT{D}{0}{10}{0}$, 
$\RPUNKT{P}{0}{0}{4{,}5}$, $\RPUNKT{Q}{6}{0}{4{,}5}$, $\RPUNKT{R}{6}{10}{4{,}5}$ 
\item $\D g:\quad\vec x=\vec P+\VPFEIL{\mathrm{PC}}=
\RVEKTOR{r}{0}{0}{4{,}5}+\lambda\RVEKTOR{r}{6}{10}{-4{,}5}$
\EPSC{12rr0981}{10cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{P}{P} \PSFM{Q}{Q} 
\PSFM{R}{R} \PSFM{S}{S} \PSFM{T}{T} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} 
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{E1}{$E_1$} \PSFM{E2}{$E_2$} \PSFM{F}{F} \PSFM{g}{$g$} 
\PSFM{A2}{A$_2$} \PSFM{Y}{Y} \PSFM{s}{$s$} \PSFM{h}{$h$}  
}
\item $\vec n_1'=2\cdot\VPFEIL{\mathrm{PC}}=\RVEKTOR{r}{12}{20}{-9}$ ist Normalenvektor 
von $E_1$.\quad $\vec n_1'\cdot\vec S=\RVEKTOR{r}{12}{20}{-9}\cdot\RVEKTOR{r}{0}{10}{4{,}5}=159{,}5$.

\[\vec n_1=2\vec n_1'\QDQ E_1:\quad\vec n_1(\vec x-\vec S)=24x_1+40x_2-18x_3-319=0\]
\item $g$ in $E_1$:
\[24\cdot 6\lambda+40\cdot 10\lambda-18\cdot\left(\frac 92-\frac 92\lambda\right)-319=0
\QDQ 625\lambda=400\]
\[\lambda=\frac{16}{25}\QDQ\vec F=\RVEKTOR{r}{0}{0}{\frac 92}+\frac{16}{25}\cdot
\RVEKTOR{r}{6}{10}{-\frac 92}=\RVEKTOR{r}{\frac{96}{25}}{\frac{32}5}{\frac{81}{50}}=
\RVEKTOR{r}{3{,}84}{6{,}40}{1{,}62}\]
\[d(\mathrm{S},g)=|\VPFEIL{\mathrm{FS}}|=
\left|\RVEKTOR{r}{-\frac{96}{25}}{\frac{18}5}{\frac{72}{25}}\right|=6\]
\item \[d(\mathrm{B},E_1)=\left|\frac{\vec n_1}{|\vec n_1|}\cdot(\vec B-\vec S)\right|=
\left|\frac 1{50}\RVEKTOR{r}{24}{40}{-18}\cdot\RVEKTOR{r}{-6}{10}{\frac 92}\right|=
\frac{175}{50}=3{,}5\]
\item Jeder Punkt $(0\,|\,x_2\,|\,0)$ erf"ullt die Gleichung von $E_2$, d.h. die $x_2$-Achse ist in
$E_2$ enthalten. Weiter erf"ullt jeder Punkt $(6\,|\,x_2\,|\,4{,}5)$ die Gleichung von $E_2$, d.h. die
Gerade $h=\mathrm{QR}$ ist auch in $E_2$ enthalten. $E_2$ ist also Diagonalebene in unserem Quader.
%Ein Normalenvektor von $E_2$ ist $\vec n_2=\RVEKTOR{r}{-3}{0}{4}$.
\item $E_1\cap a\QDQ x_1=x_3=0$ in $\D E_1\QDQ x_2=\frac{319}{40}\QDQ
\RPUNKT{A_2}{0}{7{,}975}{0}$\\[2mm]
$E_1\cap h\QDQ x_1=6$ und $x_3=\frac 92$ in $\D E_1\QDQ x_2=\frac{32}{5}\QDQ
\RPUNKT{T}{6}{6{,}4}{4{,}5}$
\item $\D s=\mathrm{A_2T}\QDQ s:\quad\vec x=\RVEKTOR{c}{0}{\frac{319}{40}}{0}+
\lambda\RVEKTOR{c}{6}{-\frac{63}{40}}{\frac 92}=\RVEKTOR{c}{0}{7{,}975}{0}+
\mu\RVEKTOR{r}{80}{-21}{60}$
\end{enumerate}
}
