\ANG{\begin{enumerate}
\item Versuche, m"oglichst viel "uber die L"osungsmenge der Gleichung
\[\vec{a}\times\vec{x}=\vec{b}\]
mit dem unbekannten Vektor $\vec{x}$ herauszufinden.
Verwende eine sauber beschriftete Zeichnung als "Uberlegungsfigur
und die g"angigen Formeln f"ur das Kreuzprodukt. Unterscheide die F"alle 
$\vec{a}\bot\vec{b}$ und $\vec{a}\not\perp\vec{b}$.
\item Gib mindestens zwei Elemente der L"osungsmenge von
\[\RVEKTOR{r}{5}{0}{-1}\times\vec{x}=\RVEKTOR{r}{2}{11}{10}\]
an (am besten nat"urlich die ganze L"osungsmenge).
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6.5cm}{12rr0711}{6cm}{}{
\PSFM{a}{$\vec a$} \PSFM{b}{$\vec b$} \PSFM{x}{$\vec x$} 
\PSFM{xs}{$|\vec x|\sin\varphi$}
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{bka}{$\vec b\times\vec a$} \PSFM{c}{$\vec c$}
\PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{}   
}{
Fall 1 ($\vec{a}\not\perp{\vec b}$):\\[2mm] 
Da $\vec a\times\vec x$ immer senkrecht auf $\vec a$ steht, ist
$\LL=\emptyset$.\\[2mm]
Fall 2 ($\vec{a}\perp{\vec b}$):
\[\vec x\bot\vec b\QDQ\vec x\| E \text{ mit }E:\,\,\vec b\vec x=0\]
\[|\vec a\times\vec x|=|\vec a|\cdot|\vec x|\sin\varphi=|\vec b|\QDQ\]
\[|\vec c|=|\vec x|\sin\varphi=\frac{|\vec b|}{|\vec a|}\]
\[\vec x=\lambda \vec a+\vec c=
\lambda \vec a+\frac{\vec b\times\vec a}{|\vec b\times\vec a|}\cdot\frac{|\vec b|}{|\vec a|}\]
\[\LL=\left\{\vec x\,\,\vline\,\,\vec x=
\lambda \vec a+\frac{\vec b\times\vec a}{|\vec a|^2}
\,\wedge\,\lambda\in\RR\right\}\qquad(1)\]
}\\
Oder:\qquad $\vec a\times\vec x=\RVEKTOR{c}{a_1}{a_2}{a_3}\times\RVEKTOR{c}{x_1}{x_2}{x_3}=
\RVEKTOR{c}{a_2x_3-a_3x_2}{a_3x_1-a_1x_3}{a_1x_2-a_2x_1}=\RVEKTOR{c}{b_1}{b_2}{b_3}\quad\DANN$
\[x_2=\frac{a_2x_3}{a_3}-\frac{b_1}{a_3},\quad
  x_1=\frac{a_1x_3}{a_3}+\frac{b_2}{a_3}\quad\DANN\]
\[\vec x=\RVEKTOR{c}{x_1}{x_2}{x_3}=
\RVEKTOR{c}{\frac{a_1x_3}{a_3}+\frac{b_2}{a_3}}{\frac{a_2x_3}{a_3}-\frac{b_1}{a_3}}{x_3}=
\frac{x_3}{a_3}\cdot\RVEKTOR{c}{a_1}{a_2}{a_3}+\RVEKTOR{r}{\frac{b_2}{a_3}}{-\frac{b_1}{a_3}}{0}\]
Mit $\D\lambda=\frac{x_3}{a_3}$ folgt
\[\vec x=\lambda\vec a+\frac{1}{a_3}\cdot\RVEKTOR{r}{b_2}{-b_1}{0}\qquad(2)\]
("aquivalent zur obigen L"osung, nur anderer Aufpunkt)
\item Mit (1):\quad$\vec{b}\times\vec{a}=\left|\begin{array}[c]{ccc}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3\\
2 & 11 & 10\\
5 & 0 & -1
\end{array}\right|=\RVEKTOR{r}{-11}{52}{-55}$,\quad
$|\vec a|^2=26$
\[\LL=\left\{\vec x\,\,\vline\,\,\vec x=
\lambda\RVEKTOR{r}{5}{0}{-1}+\frac 1{26}\RVEKTOR{r}{-11}{52}{-55}
\,\wedge\,\lambda\in\RR\right\}\]
Mit (2):
\[\LL=\left\{\vec x\,\,\vline\,\,\vec x=
\lambda\RVEKTOR{r}{5}{0}{-1}-\RVEKTOR{r}{11}{-2}{0}
\,\wedge\,\lambda\in\RR\right\}\]
z.B.
\[\begin{array}[t]{c|c|c|c}
\lambda & 0 & 1 & 2 \\\hline
\vec x &\RVEKTOR{r}{-11}{2}{0} &\RVEKTOR{r}{-6}{2}{-1}   &\RVEKTOR{r}{-1}{2}{-2}
\end{array}\]
Oder: 
\[\vec a\times\vec x=\RVEKTOR{r}{5}{0}{-1}\times\RVEKTOR{c}{x_1}{x_2}{x_3}=
\left|\begin{array}[c]{ccc}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3\\
5 & 0 & -1\\
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right|=\RVEKTOR{c}{x_2}{-x_1-5x_3}{5x_2}=\RVEKTOR{c}{2}{11}{10}\quad\DANN
\]
\[x_2=2\text{ und }x_1=-5x_3-11\]
\end{enumerate}
}
