\ANG{
Gegeben ist die in $\mathrm{\RR}$ definierte Funktion $\mathrm{f:x \mapsto -x^2 + 2 a x}$ mit $\mathrm{a \in [1;+\infty[}$.\\
Die Nullstellen von f sind 0 und 2a. 
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von f mit der x-Achse 
einschließt, den Inhalt $\mathrm{\frac 4 3 \, a^3}$ hat.
 
\begin{minipage}{10cm}
\item
Der Hochpunkt des Graphen von f liegt auf 
einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten 
dieses Quadrats liegen auf den 
Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der 
Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit 
dem Inhalt des Flächenstücks, das der 
Graph von f mit der x-Achse einschließt, 
überein. Bestimmen Sie den Wert von a.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}\phantom{x}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1310KE01_6a.png}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2023, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{\int\limits_0^{2a} f(x) dx = \left[ -\frac 1 3 x^3+a x^2\right]_0^{2a} = -\frac 8 3 a^3+ 4 a^3 = \frac 4 3 a^3 \checkmark}$
\item Hochpunkt des Graphen von f: $\mathrm{\left(a|a^2\right)}$\\
Für $\mathrm{a \in ]1;+\infty[}$ gilt: $\mathrm{\frac 4 3 a^3 = \left(a^2\right)^2 \Leftrightarrow a = \frac 4 3}$
\end{enumerate}
}