\ANG{
In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der 
Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.\\[1.5ex]
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_1a.png}\\
Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion f mit
$\mathrm{f\left(x\right)=-5x^2 e^x+1}$ und $\mathrm{x \in \left[-6;0\right]}$
beschrieben werden.  Die Wasseroberfläche wird im 
Modell durch einen Abschnitt der x-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur x-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von f 
anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der 
Realität.\\
Zur Funktion f sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
\begin{itemize}
\item $\mathrm{f'(x) = -5x \cdot \left(2+x\right) \cdot e^x}$
\item $\mathrm{f''(x) = -10e^x-20x e^x - 5x^2 e^x}$
\item $\mathrm{F(x) = x-5 \cdot \left( x^2-2x+2\right)\cdot e^x}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen den beiden Uferzonen.
\item Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, wie breit die Senke einen Meter unterhalb 
der Wasseroberfläche ist.
\item  Deuten Sie die Gleichung $\mathrm{f\left(x+3\right) = f\left(x\right)}$ im Sachzusammenhang und bestimmen 
Sie mithilfe von Abbildung 1 eine Lösung der Gleichung.
\item Leiten Sie aus der Funktionsgleichung von f die angegebene Funktionsgleichung
von f' her.
\item Berechnen Sie die Tiefe des Wassers an der tiefsten Stelle der Senke.
\end{enumerate}
Über die Senke soll eine Brücke gebaut werden. Das eine Ende der Brücke soll auf 
der linken Uferzone aufliegen, das andere Ende auf einem Sockel am rechten Ufer. 
Die Profillinie der Brücke wird im Modell durch eine Strecke dargestellt, der Auflagepunkt am rechten Ufer durch den Punkt
$\mathrm{B(0|11)}$.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{5}
\item Berechnen Sie die Länge der Brücke sowie deren Steigung in Prozent, wenn der 
linke Auflagepunkt im Modell durch den Punkt $\mathrm{A\left(-6|f(-6)\right)}$ dargestellt würde.
\item  Ermitteln Sie, wie weit das linke Ende der Brücke vom Rand der Senke entfernt 
läge, wenn die Brücke eine Steigung von 6 \% hätte.
\item Zwischen dem tiefsten Punkt der Senke und ihrem rechten Rand gibt es einen 
Punkt, in dem die Profillinie ihren größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen hat. Berechnen Sie die Größe dieses Neigungswinkels.
\item Das Produkt aus dem Flächeninhalt des Flussquerschnitts (in $\mathrm{m}^2$ ) und der Fließgeschwindigkeit des Wassers (in $\mathrm{\frac m s}$) wird als 
Durchflussrate bezeichnet. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $\mathrm{0{,}5 \frac m s}$. Der Abschnitt der x-Achse, der die 
Wasseroberfläche im Modell darstellt, wird näherungsweise durch $\mathrm{x \approx -4{,}7}$ und $\mathrm{x \approx -0{,}6}$
 begrenzt. Berechnen Sie die Durchflussrate.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f\left(0\right)-f\left(-6\right) \approx 0{,}45}$, d. h.  der Höhenunterschied beträgt etwa 45 cm.
\item Ablesen aus der Zeichnung:\\[1.5ex]
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_1b.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
Einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist die Senke etwa 2,2 m
breit.
\end{minipage}
\item  Die Lösung der Gleichung liefert den Punkt der Profillinie der Senke, für den der auf 
gleicher Höhe gegenüberliegende Punkt der Profillinie 3 m entfernt ist.\\[1.5ex]
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_1c.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
x$ \approx -3{,}9$
\end{minipage}
\item $\mathrm{f'(x) = -10 x e^x - 5 x^2 e^x = -5 x \cdot \left(2+x\right) \cdot e^x}$
\item Abbildung 1 ist zu entnehmen, dass die x-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen 
von f zwischen $\mathrm{x=-2{,}5}$ und $\mathrm{x=-1{,}5}$ liegt.\\
Für $\mathrm{x \in \left[-2{,}5;-1{,}5\right]}$ gilt: $\mathrm{f'\left(x\right)=0 \Leftrightarrow x=-2}$\\
$\mathrm{f\left(-2\right) \approx -1{,}7}$\\
Die Tiefe des Wassers beträgt an der tiefsten Stelle etwa 1,7 m.
\item $\mathrm{\sqrt{6^2+\left(1{,}1-f\left(-6\right) \right)^2}} \approx 6$, d. h. die Brücke ist etwa 6,0 m lang.
$\frac {1{,}1-f(-6)}{6} \approx 9\%$
\item $\mathrm{\frac {1{,}1-f(-6)}{\Delta x}} = 0{,}06$ liefert $\mathrm{\Delta x \approx 9{,}1}$\\
Das Ende der Brücke läge 3,1 m vom Rand der Senke entfernt.
\item Für $\mathrm{x \in \left]-2;0\right[}$ gilt: $\mathrm{f''\left(x\right)=0 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2+ \sqrt 2}$\\
$\mathrm{\tan \alpha = f'\left(2+ \sqrt 2 \right)}$, d. h. $\alpha \approx 67^o$.

\item $\mathrm{0{,}5 \cdot \left| \int\limits_{-4{,}7}^{-0{,}6} f\left(x\right) dx \right| 
= 0{,}5 \cdot \left| \left[ x - 5 \cdot \left( x^2 + 2x + 3\right) \cdot e^x \right]_{-4{,}7}^{-0{,}6} \right| \approx 2{,}1}$\\
Die Durchflussrate beträgt $\mathrm{2{,}1 \frac {m^3} s}$.
\end{enumerate}
}