\ANG{
Gegeben sind die Punkte $\mathrm{A(-2|1|-2), B(1|2|-1)}$ und $\mathrm{C(1|1|4)}$ sowie für eine reelle Zahl d der Punkt $\mathrm{D(d|1|4).}$
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind, und geben Sie eine 
Gleichung der Ebene an, in der dieses Dreieck liegt.
\item Das Dreieck ABD ist im Punkt B rechtwinklig. Ermitteln Sie den Wert von d.
\end{enumerate}

(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil A, grundlegendes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}, \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}, 
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ne r \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ für alle $\mathrm{r \in \RR}$\\
$\overrightarrow {\mathrm{x}} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix} + \lambda \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \mu \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \, \lambda, \mu \in \RR$
\item $\mathrm{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\circ\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left(d-1) + 1 \cdot(-1)+1 \cdot 5 = 0 \Leftrightarrow d = -\frac 1 3}$
\end{enumerate}

}