\ANG{
Gegeben ist die Ebenen $\mathrm{E: 2x_1+x_2-2x_3=-18}$.
\begin{enumerate}
\item Der Schnittpunkt von E mit der $\mathrm{x_1}$-Achse, der Schnittpunkt von E mit der $\mathrm{x_2}$-Achse
und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
\item Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl Normalenvektor von E als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene E ist.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2017, Teil B, erhöhtes Anforderungsniveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Schnittpunkt mit der $\mathrm{x_1}$-Achse $\mathrm{x_2 = x_3 = 0: 2x_1 + 0 -2 \cdot 0 = -18 \Leftrightarrow x_1 = -9; \quad (-9|0|0)}$\\
Schnittpunkt mit der $\mathrm{x_2}$-Achse $\mathrm{(0|-18|0)}$.\\
Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, daher lassen sich die beiden Achsen als Grundlinie und Höhe des Dreiecks verwenden:\\
$\mathrm{A = \frac 1 2 \cdot 9 \cdot 18 = 81}$
\item Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$.\\
 Ein Ortsvektor muss nur die richtige Länge aufweisen,
um ''bis zur Ebene zu reichen'':\\
Setze $\mathrm{k} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}$ in die Ebene ein und bestimme k:\\
$\mathrm{2 \cdot 2 k + 1 \cdot 1 k - 2 \cdot (-2 k) = -18 \Leftrightarrow 4k + k + 4k = -18 \Leftrightarrow k = -2}$\\
Gesuchter Vektor: $\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}$ erfüllt die Ebenengleichung und ist ein Normalenvektor von E.
\end{enumerate}
}
