\ANG{
Gegeben ist die Gerade $\mathrm{g}: \vec{\mathrm{x}} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + \mathrm{\lambda} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
mit $\mathrm{\lambda \in \RR}$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass g in der Ebene mit der Gleichung $\mathrm{x_1+x_2+x_3=2}$ liegt.
\item Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden 
      $\mathrm{h_a}: \vec{\mathrm{x}} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + \mathrm{\mu} \cdot \begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}$
	  mit $\mathrm{\mu \in \RR}$ und $\mathrm{a \in \RR}$. Weisen Sie nach, dass g und $\mathrm{h_a}$ für jeden Wert von a windschief sind.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB Abitur 2023, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \\
$\mathrm{(0+\lambda} + (1+0 \lambda) + (1-\lambda) = 2 \Leftrightarrow 0 \lambda + 2 = 2 \Leftrightarrow 2 = 2}$ ist eine wahre Aussage für jedes $\mathrm{\lambda \in \RR}$
\item Windschief heißt:
\begin{itemize}
\item Kein gemeinsamer Punkt:\\
$\mathrm{x_1: \lambda = \mu \qquad x_2: 1 = \mu \cdot a \qquad x_3: 1- \lambda = 1}$\\
Aus $\mathrm{x_3}$ folgt $\mathrm{\lambda = 0}$. Mit $\mathrm{x_1}$ folgt $\mathrm{\mu = 0}$, dann wäre mit $\mathrm{x_2 \quad 1 = 0}$, was
nicht sein kann. Somit haben die Geradenschar $\mathrm{h_a}$ und g keinen gemeinsamen Punkt.
\item Keine Parallelität:\\
Es gibt kein k mit $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}$.\\ Also sind die Richtungsvektoren
für jedes a linear unabhängig.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}