\ANG{
Wird der Punkt $\mathrm{P(1|2|3)}$ an der Ebene E gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $\mathrm{Q(7|2|11)}$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform
\item Auf der Gerade durch P und Q liegen die Punkte R und S symmetrisch
bezüglich E; dabei liegt R bezüglich E auf der gleichen Seite wie P. Der Abstand von R und S ist doppelt so groß wie der Abstand von P und Q.
Bestimmen Sie die Koordinaten von R.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Abitur 2022, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der Mittelpunkt $\mathrm{M(4|2|7)}$ der Verbindungsstrecke mit $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \frac 1 2 \left( \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right) $ ist ein Punkt der Ebene, 
der Verbindungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ist ein Normalenvektor:\\
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix} = 2 \vec{\mathrm{n}} \Rightarrow \vec{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$, damit
Ebenengleichung: $\mathrm{3 x + 4 z + c = 0}$.\\
M eingesetzt: $3 \cdot 4 + 4 \cdot 7 + c = 0 \Leftrightarrow c = -40$, also\\
$\mathrm{E: 3 x + 4 z - 40 = 0}$
\item $\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$\\
$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}} = \begin{pmatrix}10\\2\\15\end{pmatrix}$;
$\qquad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}-2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}} = \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$;

\end{enumerate}
}