\ANG{
Gegeben sind die Punkte $\mathrm{P(4|5|-19), Q(5|9|-18)}$ und $\mathrm{R(3|7|-17)}$, die in
der Ebene \\
$\mathrm{E:2 x_1 - x_2 + 2 x_3 + 35 = 0}$ liegen, sowie die Gerade 
$\mathrm{g}:\vec{\mathrm{x}} = \begin{pmatrix}-12\\11\\0\end{pmatrix} + \mathrm{\lambda} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \mathbf{\lambda} \in \RR$\\[1.5ex]
\begin{minipage}{8cm}
In einem Modell für einen Küstenabschnitt
am Meer beschreibt die $\mathrm{x_1x_2}$ -Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die
Gerade g die Uferlinie. Die Ebene E stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden
dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem
Koordinatenursprung O entspricht (vgl.Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht
einem Meter in der Realität.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
    \phantom{xxx}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{13rr1330KE04_2a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber
der Wasseroberfläche abfällt.
\end{enumerate}
Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der
Uferlinie aus zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke.    
\end{enumerate}
Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche
nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden
genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt K dargestellt wird.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{2}
\item Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der
Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2022, Teil B, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Für die Größe $\varphi$ des gesuchten Winkels gilt:\\
$\cos \varphi = \frac {\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}} 
                      {\left| \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|} = \frac 2 3 \Rightarrow \varphi \approx 48,2^o$
\item $\begin{pmatrix}-12+\lambda\\11+2\lambda\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=0
\Leftrightarrow -12 + \lambda + (11+2\lambda)\cdot 2 = 0 \Leftrightarrow \lambda = -2$;\\
$\left|\begin{pmatrix} -12-2\cdot 1\\11-2\cdot 2\\0\end{pmatrix}\right| =
 \left|\begin{pmatrix} -14\\7\\0\end{pmatrix}\right| = 7 \sqrt 5$\\
 Gesuchte Streckenlänge: etwa 16 m
 \item $\mathrm{K}(0|0|t), t \in \RR$ \\
 Hessesche Normalform von E: $-\frac 1 3 \cdot \left(\mathrm{2 x_1 - x_2 +2 x_3+35} \right)=0$ \\
K eingesetzt: $\left| -\frac 1 3 \cdot \left( 2 t + 35\right) \right| = 3 \Leftrightarrow t = -13 \lor t = -22$\\
Von diesen beiden Werten gehört nur $-13$ zu einer Position oberhalb des Meeresbodens. Daher beträgt die Tauchtiefe 13 m.
\end{enumerate}
}