\ANG{
Gegeben ist die Gerade $\matrm{g}:\vec{\matrm{x}} = \begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}, \lambda \in \RR }$,
wobei die Gerade h, welche parallel zu g ist und durch den Punkt $\mathrm{A(2|0|0)}$ verläuft.
Der Punkt B liegt auf g so, dass die Geraden AB und h senkrecht zueinander sind.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Koordinaten von B.
\item Berechnen Sie den Abstand von g und h.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2021, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix} \circ \left( \begin{pmatrix} 1+3 \lambda \\ 7 + 4 \lambda \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3\\4\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1+3\lambda\\7+4\lambda\\2\end{pmatrix} = 0\Leftrightarrow$ \\
$\Leftrightarrow 3 \cdot \left(-1+3 \lambda \right)+4 \cdot \left(7 + 4 \lambda \right) = 0 \Leftrightarrow \lambda = -1; \mathrm{B}(-2|3|2)$
\item $\left| \overrightarrow{\matrm{AB}}\right| = \left| \begin{pmatrix} -4\\3\\2 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-4)^2+3^2+2^2} = \sqrt {29}$
\end{enumerate}
}