\ANG{ 
Gegeben sind die Punkte $\mathrm{A(2|1|-4), B(6|1|-12)}$ und $\mathrm{C(0|1|0)}$.
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass der Punkt C auf der Geraden AB, nicht aber auf
der Strecke $\overline{\mathrm{AB}}$ liegt.
\item Auf der Strecke $\overline{\mathrm{AB}}$ gibt es einen Punkt D, der von B dreimal so weit entfernt ist wie von A.
Bestimmen Sie die Koordinaten von D.
\end{enumerate} 
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2017, Teil A, erhöhtes Anspruchsniveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{AB: \overrightarrow{\mathrm{x}} = \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix}$\\
$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix}$ \\
$\Leftrightarrow \lambda = -\frac 1 2$. \\
C befindet sich auf der Geraden, denn es gibt ein $\mathrm{\lambda}$, das die Gleichung erfüllt.\\
Da $\mathrm{\lambda}$ aber außerhalb des Intervalls $[0;1]$ liegt, befindet sich C nicht auf der Strecke zwischen A und B.
\item 
$\overrightarrow{\mathrm{D}} = \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix} + \frac 1 4 \cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-6\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
}