\ANG{
Das Quadrat ABCD mit $\RPUNKT{A}{0}{0}{0}$, $\RPUNKT{B}{76}{0}{0}$,
$\RPUNKT{C}{76}{76}{0}$ und 
$\RPUNKT{D}{0}{76}{0}$ ist die Grundfl"ache einer geraden Pyramide mit der
Spitze $\RPUNKT{S}{38}{38}{56}$ (die Zahlenwerte verstehen sich in Metern). 
Weiter sind folgende Punkte gegeben:
\[\begin{array}{ll}
\mathrm{M}_1&: \text{Mittelpunkt von }[\mathrm{AC}]\\
\mathrm{M}_2&: \text{Mittelpunkt von }[\mathrm{CD}]\\
\mathrm{M}_3&: \text{Mittelpunkt von }[\mathrm{DS}]\\
\mathrm{M}_4&: \text{Mittelpunkt von }[\mathrm{M_2S}]
\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item Zeige durch Rechnung: $\RPUNKT{M_3}{19}{57}{28}$ und $\RPUNKT{M_4}{38}{57}{28}$.
\item Entlang der Geraden $g=\mathrm{M_1M_3}$ und $h=\mathrm{BM_4}$ verlaufen zwei 
G"ange durch die Pyramide. Stelle die Gleichungen von $g$ und $h$ auf und erstelle ein Schr"agbild 
der Pyramide mit den G"angen (Einheit: $10\,\mathrm{m}\,\widehat{=}\,1\,\mathrm{cm}$).
\item Die Ebene $E_1$ enth"alt den Punkt S und steht senkrecht auf $h$. Stelle in 
nachvollziehbarer Weise eine 
Gleichung von $E_1$ in der (vektorfreien) Normalenform auf, deren Koeffizienten m"oglichst 
kleine ganze Zahlen sind.

[Zur Kontrolle:\quad$E_1:\quad -38x_1+57x_2+28x_3-2290=0$]
\item Eine Grabkammer G befindet an der Stelle im Gang $h$, die von der Spitze S die kleinste 
Entfernung hat. Berechne diese kleinste Entfernung $d$ und die Koordinaten von G. 
Zeichne G in das Schr"agbild ein.
\item Eine Ratte lebt im Gang $g$, eine Maus im Gang $h$. Wie nah k"onnen sich die beiden Tiere kommen?

\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\RPUNKT{M_1}{76}{38}{0}$, $\RPUNKT{M_2}{38}{76}{0}$, 
$\D \VPFEIL{\mathrm{M_3}}=\VPFEIL{\mathrm{D}}+\frac 12\VPFEIL{\mathrm{DS}}=
\RVEKTOR{c}{0}{76}{0}+\frac 12\RVEKTOR{r}{38}{-38}{56}=
\RVEKTOR{c}{19}{57}{28}$\\[2mm]
$\D\VPFEIL{\mathrm{M_4}}=\VPFEIL{\mathrm{M_2}}+\frac 12\VPFEIL{\mathrm{M_2S}}=
\RVEKTOR{c}{38}{76}{0}+\frac 12\RVEKTOR{r}{0}{-38}{56}=
\RVEKTOR{c}{38}{57}{28}$
\item $\D g:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{M_1}}+
\mu\underbrace{\VPFEIL{\mathrm{M_1M_3}}}_{\vec u}=
\RVEKTOR{c}{76}{38}{0}+\mu\RVEKTOR{r}{-57}{19}{28},\quad\mu\in\RR$\\[2mm]
$\D h:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{B}}+
\lambda\underbrace{\VPFEIL{\mathrm{BM_4}}}_{\vec v}=
\RVEKTOR{c}{76}{0}{0}+\lambda\RVEKTOR{r}{-38}{57}{28},\quad\lambda\in\RR$
\EPSC{12rr0991}{10cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} 
\PSFM{M1}{$\mathrm{M_1}$} \PSFM{M2}{$\mathrm{M_2}$} 
\PSFM{M3}{$\mathrm{M_3}$} \PSFM{M4}{$\mathrm{M_4}$} 
\PSFM{S}{S} \PSFM{T}{T} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} 
\PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{E1}{$E_1$} \PSFM{E2}{$E_2$} \PSFM{F}{F} \PSFM{g}{$g$} 
\PSFM{A2}{A$_2$} \PSFM{Y}{Y} \PSFM{s}{$s$} \PSFM{h}{$h$}  \PSFM{d}{$d$}  
\PSFM{G}{G}  
}
\item $\vec n_1=\vec v=\VPFEIL{\mathrm{BM_4}}$ ist Normalenvektor 
von $E_1$.\quad $\vec n_1\cdot\vec S=
\RVEKTOR{r}{-38}{57}{28}\cdot\RVEKTOR{r}{38}{38}{56}=2290$.
\[\QDQ E_1:\quad\vec n_1(\vec x-\vec S)=-38x_1+57x_2+28x_3-2290=0\]
\item G ist der Schnittpunkt von $h$ mit $E_1$. $h$ in $E_1$:
\[-38\cdot(76-57\lambda)+57\cdot 57\lambda+28\cdot 28\lambda-2290=0
\QDQ\lambda=\frac{5178}{5477}\]
\[\VPFEIL{\mathrm{G}}=\RVEKTOR{c}{76}{0}{0}+
\frac{5178}{5477}\RVEKTOR{r}{-38}{57}{28}=
\frac{1}{5477}\RVEKTOR{r}{219488}{295146}{144984}\approx
\RVEKTOR{r}{40}{54}{26}\]
\[d=\overline{\mathrm{GS}}=\frac{38\sqrt{4281}}{\sqrt{5477}}\approx
33{,}6\]
\item Gesucht ist der Abstand $d(g,h)$ der beiden Geraden:
\[\vec n'=\vec v\times\vec u=\left|
\begin{array}{ccc}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\
-38 & 57 & 28\\
-57 & 19 & 28
\end{array}\right|=
\RVEKTOR{c}{57\cdot 28-28\cdot 19}{-57\cdot 28+38\cdot 28}{-38\cdot 19+57\cdot 57}
=\RVEKTOR{r}{1064}{-532}{2527}=133\cdot\RVEKTOR{r}{8}{-4}{19}
\]
\[\vec n=\RVEKTOR{r}{8}{-4}{19}\]
\[d(g,h)=\left|\frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot(\VPFEIL{\mathrm{M_1}}-\VPFEIL{\mathrm{B}})\right|=
\left|\frac 1{21}\cdot\RVEKTOR{r}{8}{-4}{19}\cdot\RVEKTOR{r}{0}{38}{0}\right|=
\left|\frac{-4\cdot 38}{21}\right|=\frac{152}{21}\]
\end{enumerate}
}
