\ANG{
\EPSR{6.5cm}{12rr1001}{7cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{T}{T} \PSFM{S}{S} 
}{
Eine straff gespannte "Uberlandleitung f"uhrt von $\RPUNKT{A}{120}{40}{20}$ nach 
$\RPUNKT{B}{40}{100}{30}$,
das ebenfalls (idealisierterweise) als geradlinig verlaufende Seil einer Bergbahn von der Talstation 
$\RPUNKT{T}{78}{-5}{14}$ zur Spitze $\RPUNKT{S}{78}{135}{s}$ des ersten Mastens. 
Alle Koordinaten verstehen sich in Metern.
}
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichungen der Geraden $g=\mathrm{AB}$ und $h=\mathrm{TS}$ auf.
\item F"ur welches $s=s_1$ schneiden sich $g$ und $h$?
\item Stelle den Abstand $d$ der Geraden $g$ und $h$ als Funktion von $s$ dar.
\item Eine Vorschrift besagt, dass $d$ mindestens 15\,m betragen muss. F"ur welches $s=s_2$ 
ist $d$ genau $15\,\mathrm{m}$?
\item Es gilt jetzt $s=s_2$. F"ur welches $\mathrm{P}\in g$ und $\mathrm{Q}\in h$ 
gilt $\overline{\mathrm{PQ}}=d$? 
\item Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schr"agbild dar.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D g:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{A}}+\lambda'\VPFEIL{\mathrm{AB}}=
\RVEKTOR{r}{120}{40}{20}+\lambda'\RVEKTOR{r}{-80}{60}{10}=
\RVEKTOR{r}{120}{40}{20}+\lambda\RVEKTOR{r}{-8}{6}{1}$\\[2mm]
$\D h:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{T}}+\mu\VPFEIL{\mathrm{TS}}=
\RVEKTOR{r}{78}{-5}{14}+\mu\RVEKTOR{c}{0}{140}{s-14}$
\item Gleichsetzen von $g$ und $h$:
\begin{align*}
&&-8\lambda&=-42&(1)&\\
&&6\lambda-140\mu&=-45&(2)&\\
&&\lambda-(s-14)\mu&=-6&(3)&\\\cline{2-4}
(1)\,\,\DANN&& \lambda &=\frac{21}4&(4)&\\
(4)\text{ und }(2)&:&\mu&=\frac{153}{280}&(5)&\\
(4)\text{ und }(5)\text{ in }(3)&:&\frac{21}4-(s-14)\cdot\frac{153}{280}&=-6&(6)&\\
&&s=s_1&=\frac{588}{17}\approx 34{,}6&&
\end{align*}
\item Die k"urzeste Verbindung zwischen $g$ und $h$ steht senkrecht auf beiden Geraden:
\[\vec n=\RVEKTOR{c}{0}{140}{s-14}\times\RVEKTOR{r}{-8}{6}{1}=
\RVEKTOR{c}{224-6s}{112-8s}{1120}\]
Die Ebene $E$ enth"alt $g$ uns steht senkrecht auf $\vec n$:
\[E:\quad\vec n(\vec x-\VPFEIL{\mathrm{A}})=0\]
Der Abstand der Geraden ist der Abstand von T zu $E$:
\begin{align*}
d(s)&=\frac{\vec n(\VPFEIL{\mathrm{T}}-\VPFEIL{\mathrm{A}})}{|\vec n|}=
\frac{\RVEKTOR{c}{224-6s}{112-8s}{1120}\cdot\RVEKTOR{c}{-42}{-45}{-6}}{\sqrt{(224-6s)^2+(112-8s)^2+1120}}=\\
&=\frac{612s-21168}{\sqrt{(224-6s)^2+(112-8s)^2+1120}}=15
\end{align*}
\begin{align*}
(612s-21\,168)^2&=15^2\cdot[(224-6s)^2+(112-8s)^2+1120]\\
374\,544s^2-25\,909\,632s+448\,084\,224&=22\,500s^2-1\,008\,000s+296\,352\,000\\
352\,044s^2-24\,901\,632s &=-151\,732\,224\\
s^2-2\cdot\frac{49\,408}{1397}&=-\frac{602\,112}{1397}\\
\left(s-\frac{49\,408}{1397}\right)^2&=\frac{49\,408^2-602\,112\cdot 1397}{1397^2}=
\frac{40\,000^2}{1397^2}\\
s&=\frac{49\,408}{1397}\PNM\frac{40\,000}{1397}
\end{align*}
\[s=s_2=64,\qquad \left(s_3=\frac{9408}{1397}\approx 6{,}73\right)\]
\item $\D s=64\QDQ h:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{T}}+\mu\VPFEIL{\mathrm{TS}}=
\RVEKTOR{r}{78}{-5}{14}+\mu'\RVEKTOR{c}{0}{140}{50}=
\RVEKTOR{r}{78}{-5}{14}+\mu\RVEKTOR{c}{0}{14}{5}$\\[2mm]
Weiter folgt aus $s=64$: $\D \vec n=\RVEKTOR{r}{-2}{-5}{14}$ mit 
$|\vec n|=15$. Da $\vec n$ nach
oben zeigt und $h$ "uber $g$ verl"auft, folgt mit 
$\VPFEIL{\mathrm{P}}=\RVEKTOR{r}{120}{40}{20}+\lambda\RVEKTOR{r}{-8}{6}{1}$
und $\VPFEIL{\mathrm{Q}}=\RVEKTOR{r}{78}{-5}{14}+\mu\RVEKTOR{c}{0}{14}{5}$:
\[\VPFEIL{\mathrm{PQ}}=d\cdot\frac{\vec n}{|\vec n|}\]
und damit
\[\RVEKTOR{r}{-42}{-45}{-6}+\mu\RVEKTOR{c}{0}{14}{5}
-\lambda\RVEKTOR{r}{-8}{6}{1}=\frac{15}{15}\cdot\RVEKTOR{r}{-2}{-5}{14}\]
Daraus folgt $\lambda=\mu=5$ und damit $\RPUNKT{P}{80}{70}{25}$ und $\RPUNKT{Q}{78}{65}{39}$.
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}

\EPSC{12rr1002}{12cm}{}{
\PSFM{P}{P} \PSFM{Q}{Q} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{S}{S} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$} 
\PSFM{40}{40} \PSFM{100}{100} \PSFM{d}{$d$}
}
\end{enumerate}
}
