\ANG{
\begin{minipage}{8cm}
Gegeben sind das gerade Prisma ABCDEF mit den Eckpunkten
$C(0|0|0)$, $D(6|0|5)$, $E(0|8|5)$ und $F(0|0|5)$ sowie der Punkt $M(3|4|5)$
 (vgl. Abbildung 1).
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Inhalt der
Oberfläche des Prismas.
\item Begründen Sie, dass die Punkte
D, E und F auf einem Kreis mit
dem Mittelpunkt M liegen.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_1a.png}
\end{minipage}\\

\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{2}
\item Die Ebene W enthält die Punkte M, F und $S(7{,}5|0|0)$  (vgl. Abbildung 2). 
Bestimmen Sie eine Gleichung von W in Koordinatenform.\\
\textit{(zur Kontrolle: $4x-3y+6z=30$ )}
\item Im Folgenden sind zwei Schritte
der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit
den betrachteten geometrischen Objekten steht:\\
$(1) \qquad P(6|0|r)$ mit $0 \le r \le 5$\\
$(2) \qquad 4 \cdot 6 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot r = 30$ \\
Geben Sie die passende Aufgabenstellung an.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_1b.png}
\end{minipage}\\ \\
Anstelle des Punkts S werden nun Punkte $S_t(t|0|0)$ mit $t \ge 0$ auf der x-Achse betrachtet. 
Für jeden Wert von t schneidet die Ebene durch die Punkte M, F und $S_t$ das
Prisma ABCDEF in einem Vieleck.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von t an sowie alle
Werte von t, für die das Vieleck zwei Symmetrieachsen besitzt.
\item Bestimmen Sie denjenigen Wert von t, für den das Dreieck $MFS_t$ im Punkt M rechtwinklig ist.
\end{enumerate}


\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Oberflächeininhalt: $6 \cdot 8 + 5 \cdot \left(6 + 8 + \sqrt{6^2+8^2} \right) = 168$
\item Wegen $\overrightarrow{OM} = \frac 1 2 \cdot \left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\right)$ ist M der Mittelpunkt der Strecke 
$\overline{DE}$. Da das Dreieck DEF in F rechtwinklig ist, loiegen D, E und F auf dem Thaleskreis über $\overline{DE}$
\item Mit $W: ax + by + cz = 30$ ergibt sich aus $F,M,S \in W$ das Gleichungssystem\\
$\text{I}\quad 5c=30\qquad \text{II} \quad 3a+4b+5c=30 \qquad \text{III} \quad 7{,}5a = 30.$ \\
Aus I und III folgt $c=6$ bzw. $a = 4$. \\
Aus II ergibt sich $12+4b+30=30$ und schlielich $b=-3$.
\item Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts der Strecke AD , der in der Ebene W liegt.
\item $0 \le t < 6$: vier Ecken \\
$t \ge 6$: drei Ecken \\
zwei Symmetrieachsen: $t = 0$
\item
$\overrightarrow{MF} \circ \overrightarrow{M S_t} = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}$ \circ \begin{pmatrix}t-3\\-4\\-5\end{pmatrix}=0
\Leftrightarrow -3t+9+16=0 \Leftrightarrow t = \D\frac {25} 3$
 
\end{enumerate}
}