\ANG{
\begin{minipage}{7.5cm}
Die Abbildung zeigt modellhaft eine
Eingangsüberdachung, die an einem
Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer
dreieckigen und zwei viereckigen
Dachflächen, deren Eckpunkte im
verwendeten Koordinatensystem durch
die Punkte $A(3|0|0), B(0|0|0), C(1{,}5|\text{-}1{,}2|1), D(3|2|0),$ $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden.
Die Punkte A, B und C markieren
Befestigungspunkte am Hausdach. Es
gilt $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CF}$ und $\left| \overrightarrow{DF}\right| = \left| \overrightarrow{EF}\right|$.\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_2a.png}
\end{minipage}
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle
Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach
zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der x-Achse.
\begin{enumerate}
\item Die beiden viereckigen Dachflächen der Eingangsüberdachung haben jeweils einen
Flächeninhalt von etwa $3{,}6\text{m}^2$. Die Eingangsüberdachung soll mit Dachziegeln gedeckt werden.
Bestimmen Sie den Inhalt der zu bedeckenden Fläche.
\item Zur Beleuchtung werden an einer Strebe, die im Modell zwischen den Punkten A
und E verläuft, zwei Lampen so befestigt, dass deren Befestigungspunkte diese
Strebe in drei gleich lange Abschnitte teilen. Bestimmen Sie für einen dieser Befestigungspunkte
die Koordinaten im Modell.
\item Die in der Abbildung dargestellte Fläche des Hausdachs liegt im Modell in der Ebene
mit der Gleichung $3y+3{,}6\,z=0$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels im Inneren
des Hauses zwischen Hausdach und vertikaler Hauswand. Ermitteln Sie für die
Ebene, in der die dreieckige Dachfläche der Eingangsüberdachung liegt, eine Gleichung in Koordinatenform.
\item Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Eingangsüberdachung
trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \begin{pmatrix}-0{,}9\\-1\\-0{,}6\end{pmatrix}
beschrieben werden.  Erläutern Sie im Sachzusammenhang die Schlussfolgerungen, die in Verbindung
mit der Abbildung aus den folgenden Schritten gezogen werden können.
\begin{flalign}
&\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}-0{,}9\\-1\\-0{,}6\end{pmatrix}
\text{ liefert } \lambda = 2 \text{ und somit } \left( -1{,}8|0|-1{,}2 \right) \text{.} && \\
&-1,8 < 0 \quad \text{ und } \quad -2,5 < -1,2 < 0&&
\end{flalign}
\item Die in der Abbildung dargestellten sechs Punkte A bis F sind die Eckpunkte eines
Körpers K, der von fünf Flächen begrenzt wird. K wird von der Ebene mit der Gleichung
$y=s$ in einem Vieleck geschnitten, falls $-1,2 < s < 2$ gilt. Geben Sie die Anzahl
der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von s an und geben Sie das Intervall aller
Werte von s an, so dass die zugehörigen Vielecke alle dieselbe Form und denselben
Flächeninhalt besitzen.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mittelpunkt M der Strecke $\overline{DE}$: $M\left(1{,}5|2|0\right)$\\
Mit $\overrightarrow{DE} =\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{MF} = \begin{pmatrix}0\\-1{,}2\\1\end{pmatrix}$
ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks DEF: \\
$\frac 1 2 \cdot \left| \overrightarrow{DE} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MF}\right| = \frac {3 \cdot \sqrt{61}}{10}$ \\
Wegen $2 \cdot 3{,}6 + \frac {3 \cdot \sqrt{61}}{10} \approx 9{,5}$ beträgt der Inhalt der zu bedeckenden Fläche etwa $9,5\text{m}^2$.
\item Mit $\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix} \text{ gilt } $\overrightarrow{OA}+\frac 1 3 \cdot \overrightarrow{AE} =
\begin{pmatrix}2\\\frac 2 3\\0\end{pmatrix}$.

\item $cos \left( \alpha \right) = \frac {\begin{pmatrix}0\\3\\3{,}6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}
{\left| \begin{pmatrix}0\\3\\3{,}6\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right|}$ liefert $\alpha \approx 40^o$. \\
Somit beträgt die Größe des Winkels zwischen Hausdach und vertikaler Hauswand
etwa $130^o$. \\
Die Ebene hat eine Gleichung der Form $3y + 3{,}6z = c$. Da E in der Ebene liegt, gilt\\
$3 \cdot 2 + 3{,}6 \cdot 0 = c \, , \text{ d. h. } c = 6$.
\item Schritt (1) liefert im Modell die Lage des Schattens des Eckpunkts E in der xz-Ebene.
Aus Schritt (2) ergibt sich in Verbindung mit der Abbildung, dass dieser Schatten
rechts von der Eingangsüberdachung auf der vertikalen Hauswand liegt.
\item $-1{,}2<s \le 0{,}8$: drei\\
$0{,}8<s<2$: vier\\
Für $0 \le s \le 0{,}8$ sind sowohl Form als auch Flächeninhalt der zugehörigen Vielecke gleich.
\end{enumerate}
}