\ANG{
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A$(0|0|1)$, B$(2|6|1)$ und 
C$(4|8|5)$ gegeben.
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass die Gerade AB parallel zur $\mathrm{x_1x_2}$-Ebene verläuft.
\item Weisen Sie nach, dass
\begin{itemize}
\item der Punkt M$(-2|4|3)$ der Mittelpunkt der Strecke $\mathrm{\overline{AC}}$ ist;
\item das Dreieck ABC bei B einen rechten Winkel hat.
\end{itemize}
\item Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D, für den das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
\item Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in 
Koordinatenform.
\end{enumerate}
\textit{(zur Kontrolle: $3x_1-x_2+5x_3-5=0$)}\\
\begin{minipage}{12cm}
Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem 
vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der 
Solarmodule wird modellhaft durch das Rechteck ABCD dargestellt, 
der Befestigungspunkt des Metallrohrs am Trägergestell durch den 
Punkt M (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die 
$\mathrm{x_1x_2}$-Ebene den horizontalen Untergrund, auf dem das Metallrohr 
steht; eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_3a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item m Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte die Größe des 
Neigungswinkels der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen 30° und 36° liegen. 
Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
\item Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke darstellen. Geben Sie eine 
Gleichung dieser Strecke an.
\item Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden 
dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt 
auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründen Sie die
folgende Aussage unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze:\\
\textit{Der Flächeninhalt des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt, ist größer als der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD.}
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die $\mathrm{x_3}$-Koordinaten der Punkte A und B stimmen überein.
\item 
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac 1 2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
\item $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \circ \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$
\end{itemize}
\item $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \mathrm{D}(-6|2|5)$
\item $\mathrm{E}: \overrightarrow{\mathrm{x}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \lambda \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \mu \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}; \lambda, \mu \in \RR$\\
Berechnen des Normalenvektors: $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}} 
= \begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\8\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\-8\\40\end{pmatrix} = 8 \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}$\\
Koordinatenform mit Parameter c: $\mathrm{3 x_1-x+5x_3 + c = 0}$\\
Punkt A eingesetzt: $3 \cdot 0 - 0 + 5 \cdot 1 + \mathrm{c} = 0\Leftrightarrow c = -5$\\
Koordinatenform: $\mathrm{3x_1-x_2+5x_3-5=0} \checkmark$
\item Mit $\vec m = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\vec n = \begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}$ ergibt sich: 
$\cos \varphi = \frac {\vec m \circ \vec n}{\left| \vec m \right| \cdot \left| \vec n\right|}$, d. h. $\varphi \approx 32,3^o$.\\
Die Bedingung ist erfüllt.
\item $\vec x = \overrightarrow{\mathrm{OM}} + \sigma \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, \sigma \in [-3;0]$
\item 
\begin{minipage}{12cm}
Flächeninhalt eines Rechtecks ist der Wert des Produkts der Seitenlängen. Die Gerade AB verläuft parallel 
zur $\mathrm{x_1x_2}$-Ebene, die Gerade AD nicht. Damit ist die eine 
Seite des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt, genauso lang wie die Strecke AB , die andere Seite länger als die Strecke AD.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_3b.png}
\end{minipage}

\end{enumerate}
}