\ANG{
\begin{minipage}{11cm}
Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das 
abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $\mathrm{A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|4|0), D(0|4|0), E(0|0|4), F(5|0|4), G(5|3|3)}$ 
und $\mathrm{H(0|3|3)}$ beschrieben. \\
Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck 
ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten 
des Anbaus bestehen vollständig aus Glas. \\
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 
einem Meter in der Realität. Die $\mathrm{x_1x_2}$-Ebene
beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\phantom{...}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_5a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass das Viereck BCGF ein Drachenviereck ist.

\item Die Ebene L, in der die Punkte A, B und G liegen, kann durch eine Gleichung der 
Form $\mathrm{r \cdot x_2 + s \cdot x_3 = 0}$ dargestellt werden. Bestimmen Sie passende Werte für r 
und s.

\item Begründen Sie, dass die Ebene L eine Symmetrieebene des Körpers ABCDEFGH 
ist. 

\item Die beiden folgenden Rechnungen I und II liefern das Volumen des Anbaus: \\
$\mathrm{I \qquad 2 \cdot \frac 1 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \qquad \qquad II \qquad 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60}$\\
Erläutern Sie für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang. 
\end{enumerate}
Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo 
innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch EF dargestellt wird, 
bis zur unteren Kante des Dachs. 
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, 
in Zentimeter pro Sekunde. 
\end{enumerate}
Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch 
parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
 beschrieben werden. 
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{5}
\item Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das Sonnenlicht auf den Untergrund trifft. 
\item Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene 
Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen – in Form einer gesonderten zweidimensionalen 
Zeichnung – in der $\mathrm{x_1x_3}$-Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung 
stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:\\
$\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ 
\textit{ liefert } $\mu = 3$ \textit{ und damit }$(3|0|-3)$\\
Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Lösungsschritts und fertigen Sie die angestrebte Zeichnung an. 
\end{enumerate} 
\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2023, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\left| \overline {BC} \right| = 4 = \left| \overline {BF} \right|, \quad \left| \overline {GC} \right| = \sqrt{1^2+3^2} = \left| \overline {GF} \right|$

\item Da G in der Ebene liegt, gilt $\mathrm{3r + 3s = 0}$. Damit ergibt sich beispielsweise $\mathrm{r=1}$ und $\mathrm{s=-1}$.

\item Das Prisma ABCDEFGH mit dem Drachenviereck BCGF als Grundfläche ist gerade. 
L enthält die Symmetrieachse der Grundfläche und steht zu dieser senkrecht. 

\item I: Das Prisma ABCDEFGH hat die Höhe 5. Der Inhalt der Grundfläche BCGF ist doppelt
 so groß wie der Inhalt $\mathrm{\frac 1 2 \cdot 4 \cdot 3}$ des Dreiecks BCG.

\item $\mathrm{\frac {\left| \overrightarrow {FG} \right| \cdot 100 cm}{60 s} \approx 5{,3} \frac{cm} s}$

\item $\mathrm{sin \varphi = \frac {\left| \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right|}
      {\left| \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right|}}$ liefert
	  $\mathrm{\varphi = 55^o}$
	  
\item $\mathrm{(3|0|-3)}$ ist der Schnittpunkt S der Gerade durch H mit 
dem gegebenen Richtungsvektor und der $\mathrm{x_1x_3}$-Ebene.\\
\includegraphics[width=.33\linewidth]{13rr1330KE06_5b.png}

\end{enumerate}
}