\ANG{
\begin{minipage}{9cm}
Die Mittelpunkte der Seitenflächen 
eines Würfels sind die Eckpunkte 
eines Oktaeders (vgl. Abbildung).\\
Die Eckpunkte $\mathrm{A\left(1|2|\right), B}$, $\mathrm{C\left( -3|-6|9\right)}$ und D eines Oktaeders
liegen in der Ebene H mit der 
Gleichung $\mathrm{2x_1+x_2+2x_3-6=0}$.
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass die 
Kantenlänge des Würfels 12 
beträgt. 
\item Bestimmen Sie die Koordinaten 
eines der beiden Eckpunkte des 
Oktaeders, die nicht in H liegen. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}\phantom{xxx}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1330KE06_7a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]

(Quelle: Text und Aufgabe ISB Abitur 2024, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Kantenlänge des Würfels $\left| \overrightarrow{\mathrm{A C}} \right| = \left| \begin{pmatrix}-4\\-8\\8\end{pmatrix} \right| = \sqrt{144} = 12 \checkmark$

\item Mittelpunkt M der Strecke $\overline{\mathrm{A C}}$: $\mathrm{M\left( -1|-2|5 \right)}$ \\

Normalenvektor von H: $\vec{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ mit $\left| \vec{\mathrm{n}} \right| = 3$.\\
Damit ergeben sich die Koordinaten der beiden Eckpunkte , die nicht in H liegen zu 
$\vec{ \mathrm{M}} + 2 \cdot \vec {\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
}