\ANG{
Gegeben ist die in $\RR$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac {x^2-1}{x^2+1}$\\
Für jeden Wert von $\mathrm{k>0}$ legen die auf $\mathrm{G_f}$ liegenden Punkte
$\mathrm{P_k\left(-k|f(-k)\right)}$ und $\mathrm{Q_k\left(k|f(k)\right)}$
gemeinsam mit dem Punkt $\mathrm{R(0|1)}$ ein gleichschenkliges Dreieck $\mathrm{P_kQ_kR}$ fest.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{6cm}
\item Berechnen Sie für $\mathrm{k=2}$ den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $\mathrm{P_2Q_2R}$ 
(vgl. Abbildung).\\
Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{P_kQ_kR}$ allgemein
durch den Term $\mathrm{A(k) = \frac {2k}{k^2+1}}$ beschrieben werden kann.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\phantom{...}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1340KE03_2a.png}
\end{minipage}
\item Zeigen Sie, dass es einen Wert von $\mathrm{k>0}$ gibt, für den $\mathrm{A(k)}$ maximal ist.
Berechnen Sie diesen Wert von k sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $\mathrm{P_kQ_kR}$.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2020, Teil B, erhöhtes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{P_2Q_2R}$: $\mathrm{\frac 1 2 \cdot 4 \cdot \left(1-f(2)\right) = \frac 4 5}$\\
$\mathrm{A(k) = \frac 1 2 \cdot 2k \cdot \left(1-f(k)\right) = k \cdot \frac {k^2+1-(k^2-1)}{k^2+1}=\frac{2k}{k^2+1}}$
\item Betrachtet man $\mathrm{A(k)}$ als einen Term einer in $\RR^+$ definierten Funktion A, so gilt:\\
$\mathrm{A'(k) = \D\frac {2 \cdot \left(k^2+1\right)-2k \cdot 2k}{\left(k^2+1\right)^2} = \frac {-2k^2 + 2}{\left(k^2+1\right)^2} }$\\
Für $\mathrm{k>0}$ gilt: $\mathrm{A'(k) = 0 \Leftrightarrow -2k^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow k = 1}$\\
Da die Ableitung $\mathrm{A'}$ von A an der Stelle 1 einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat und keine weiteren Nullstellen besitzt, ist A 
für $\mathrm{k=1}$ maximal.\\
$\mathrm{A(1) = 1}$
\end{enumerate}
}