\ANG{
\begin{minipage}{13cm}
In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle 
Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen: 
\begin{itemize}
\item Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen. 
\item Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $\mathrm{G_f}$ der Funktion $\mathrm{f: x \mapsto -ln(x)}$ mit $\mathrm{0 < x < 1}$.
\end{itemize}
Die Abbildung zeigt ein solches Rechteck.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}\phantom{xxx}\end{minipage}
\begin{minipage}{3.5cm}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{13rr1340KE03_5a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. 
Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2014, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
Flächeninhaltsfunktion in Abhängigkeit von x: $\mathrm{A(x) = -ln(x) \cdot x}$.\\
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion: $\mathrm{A'(x) = -\frac 1 x \cdot x - ln(x) \cdot 1 = -1 - ln(x)}$\\
Suche des Extremwerts: $\mathrm{A'(x) = 0 \Leftrightarrow -1 - ln(x) = 0 \Leftrightarrow -1 = ln(x) \Leftrightarrow e^{-1} = x \Leftrightarrow x = \frac 1 e}$.\\
Damit ist eine Seitenlänge bestimmt. Die andere ergibt sich aus dem Funktionswert an dieser Stelle: $\mathrm{f\left(\frac 1 e\right) = + ln(e) = 1}$
}