\ANG{
Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus
einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach
mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang
und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.\\ \\
Außerdem gilt: $f(x) = \frac 3 {1000} \cdot x^4 - \frac 8 {100} \cdot x^3 + \frac 6 {10} \cdot x^2$.\\ \\
\begin{minipage}{6cm}
Abbildung 2 stellt die
Geschwindigkeitsverläufe der
beiden Radfahrer in den
ersten 15 Sekunden nach
dem Start dar. Dabei wird der
Geschwindigkeitsverlauf von
Radfahrer A in den ersten
10 Sekunden nach dem Start
durch die oben angegebene Funktion f beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von
Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem
Start durch eine Funktion h
beschrieben.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{13rr1340KE04_1a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
Dabei ist x die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die
Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer A drei Sekunden nach dem
Start.
\end{enumerate}
Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider
Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item Ermitteln Sie $x_s$ mithilfe von Abbildung 2 und geben Sie den Zeitraum an, in dem
die Geschwindigkeit von Radfahrer A größer ist als die Geschwindigkeit von Radfahrer B.
\item Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt. 
Geben Sie die Bedeutung von $d(x)$ für $0 < x < x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis
$0{,}37$.\\
\begin{align*}
&d(x) = f(x)-h(x)\\
&d'(x)=0 \text{ hat für } 0 < x < x_s \text{ nur die Lösung } x_1 \approx 3{,}64\\
&d''(x_1) \approx -0{,}13 < 0 \\
&d(x_1) \approx 0{,}37\\
\end{align*}
\item Berechnen Sie die Länge der Strecke, die Radfahrer A in den ersten 15 Sekunden
nach dem Start zurücklegt.
\item Es gibt ein z mit $0 < z < 10$, für das gilt: \\
$\int\limits_0^z \left(f(x)-h(x)\right) dx = 0$\\
Geben Sie die Bedeutung von z im Sachzusammenhang an und begründen Sie im
Sachzusammenhang, dass $z > x_s$ gilt.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f(3) = 3,483$, d. h. drei Sekunden nach dem Start beträgt die Geschwindigkeit von Radfahrer A etwa $3{,}5 \frac {\mathrm{m}} {\mathrm{s}}$.
\item $x_s \approx 6$\\
Zeitraum: Vom Zeitpunkt des Starts bis zum Zeitpunkt $x_s$ Sekunden nach dem Start.
\item $d(x)$ gibt für den Zeitpunkt x Sekunden nach dem Start an, um wie viele Meter pro
Sekunde Radfahrer A schneller ist als Radfahrer B.\\
Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten innerhalb der ersten $x_s$ Sekunden
nach dem Start beträgt etwa $0{,}37 \, \frac {\mathrm{m}} {\mathrm{s}}$.
\item $\int\limits_0^{10} f(x) dx = \left[\frac 3 {1000} x^5 - \frac 1 {50} x^4 + \frac 1 5 x^3 \right]_0^{10} = 60-200+200 = 60$ \\
$60+10 \cdot 5 = 110$\\
Die Länge der zurückgelegten Strecke beträgt 100m.
\item Zum Zeitpunkt, der im Modell durch z angegeben ist, haben beide Radfahrer die
gleiche Strecke zurückgelegt.\\
Es gilt $z > x_s$, da sich Radfahrer A in den ersten $x_s$ Sekunden nach dem Start
stets vor Radfahrer B befindet.
\end{enumerate}
}