\ANG{
Zur Bestimmung der Wasserqualität eines Gewässers wurde über einen Zeitraum
von 40 Jahren der Zusammenhang zwischen der Phosphorkonzentration und der Algenkonzentration 
in dem Gewässer untersucht.\\
\begin{minipage}{8cm}
Die zeitliche Entwicklung der Phosphorkonzentration kann modellhaft
durch die in $\RR$ definierte Funktion p
und die zeitliche Entwicklung der
zugehörigen Algenkonzentration
durch die in $\RR$ definierte Funktion a
beschrieben werden. \\
Dabei ist t die
seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren, p(t) die Phosphorkonzentration in 
$\frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$ und a(t)
die Algenkonzentration in $\frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$.
Für $0 \le \mathrm{t} \le 40$ zeigt die Abbildung 2
den Graphen von p, die Abbildung 3
den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von a.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1340KE04_2a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Phosphorkonzentration $30 \, \frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$ beträgt.
\item Der Graph von p besitzt für $\mathrm{t} \ge 10$ einen Wendepunkt. Beschreiben Sie die Bedeutung 
dieses Wendepunkts für die Entwicklung der Phosphorkonzentration im Gewässer.
\item Beurteilen Sie anhand der Abbildungen 2 und 3 die folgende Aussage:\\
\textit{Ab dem Zeitpunkt, ab dem sich die Phosphorkonzentration verringert,
verringert sich auch die Algenkonzentration.}
\item Zehn Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Algenkonzentration $100 \, \frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$.
Bestimmen Sie die Algenkonzentration zu Beobachtungsbeginn. Veranschaulichen
Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung 3.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Etwa 25 Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Phosphorkonzentration $30 \, \frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$
\item Die t-Koordinate des Wendepunkts gibt den Zeitpunkt an, zu dem die Phosphorkonzentration des Gewässers innerhalb des Beobachtungszeitraums am stärksten
abnimmt.
\item Die Aussage ist falsch.\\
Begründung: Zu dem Zeitpunkt, ab dem die Phosphorkonzentration abnimmt, ist
die momentane Änderungsrate der Algenkonzentration positiv.
\item 
Der Inhalt der Fläche, die der
Graph der ersten Ableitungsfunktion von a mit der t-Achse im Bereich $0 \le \mathrm{t} \le 10$ einschließt, entspricht 
in etwa dem Inhalt der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 10 und 14. Wegen
$100-\frac 1 2 \cdot 14 \cdot 10 = 30$ beträgt die Algenkonzentration zu Beobachtungsbeginn etwa $30 \, \frac {\mathrm{mg}}{\mathrm{m}^3}$. \\
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{13rr1340KE04_2b.png}

\end{enumerate}
}