\ANG{

Betrachtet wird die Schar der in $\RR$ definierten Funktionen $\mathrm{w_{a;b;c}: x \mapsto \D\frac{a}{b+e^{c \cdot x}}}$
mit $\mathrm{a,b \in \RR^+ }$ und $\mathrm{c \in \RR}$.
\begin{enumerate}
    \item Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten 
    von a und b, zu einem der Werte $\mathrm{c=-1, c=0, c=1}$.\\
	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{13rr1340KE04_4a.png}\\
	Ordnen Sie den Graphen die genannten Werte von c zu und begründen Sie Ihre Zuordnung. 
\end{enumerate}
Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende 
Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung 
mithilfe des Graphen der Funktion $\mathrm{w_{40;1;-0,2}}$ beschrieben, die im
Folgenden mit w bezeichnet wird. Es gilt also $\mathrm{w(x) = \frac {40}{1+e^{-0,2 \cdot x}}}$. Dabei 
ist x die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $\mathrm{w(x)}$ die Anzahl der Seeadler.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item Geben Sie auf Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, 
und berechnen Sie, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf 32 angewachsen ist. 
\item Die Tangente an den Graphen von w im Punkt $\mathrm{\left( 0|w(0) \right)}$ hat die Steigung 2. 
Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente 
beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der 
Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl 
mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des 
Graphen von w ergeben würde. 
\end{enumerate}
Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung 
der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus 
der Schar der Funktionen $\mathrm{w_{a;b;c}}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem 
ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von a, b und c. \\
$\mathrm{(1) \qquad \frac a {b+1} = 20 \qquad \qquad (2) \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} \frac a {b+e^{c \cdot x}} = 45 \qquad \qquad (3) \qquad \frac a {b+e^{15 c}} = 35}$
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}
\item  Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang. 
\item Ermitteln Sie die Werte von a und b.
\end{enumerate}

(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, erhöhtes Niveau, WTR)
}
\LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{c = 0}$ gehört zu I, da die Funktionswerte von $\mathrm{w_{a;b;c}}$ konstant sind,\\
$\mathrm{c = 1}$ gehört zu II, da $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty} w_{a;b;c} = 0}$ gilt.\\
Damit gehört $\mathrm{c=-1}$ zu III.
\item $\mathrm{w(0) = \frac {40} 2 = 20}$, es wurden 20 Seeadler angesiedelt.\\
$\mathrm{w(x) = 32 \Leftrightarrow 1 + e^{-0,2 \cdot x} = \frac 5 4 \Leftrightarrow e^{-0,2 \cdot x} = \frac 1 4 }$ liefert $\mathrm{x \approx 7}$,
die Anzahl der Seeadler ist nach etwa sieben Jahren auf 32 angewachsen.
\item $\mathrm{w(4) \approx 27,6}$\\
Bei Beschreibung der Entwicklung mithilfe der Tangente ergeben sich für den genannten Zeitpunkt $\mathrm{20+2\cdot 4 = 28}$ Seeadler und damit
etwa die gleiche Anzahl.
\item \\
(1) Es werden 20 Seeadler angesiedelt.\\
(2) Langfristig werden laut Modell 45 Seeadler auf der Inselgruppe leben.\\
(3) Nach 15 Jahren leben laut Modell 35 Seeadler auf der Inselgruppe.
\item Aus (2) und (1) folgt $\mathrm{c < 0}$ und damit $\mathrm{\frac a b = 45}$. In Verbindung mit (1) ergibt sich daraus 
$\mathrm{45b = 20b+20}$, d. h. $\mathrm{b = \frac 4 5}$, und $\mathrm{a = 36}$.
\end{enumerate}
}