\ANG{
Gegeben ist die Schar der in $\RR$ definierten Funktionen $\mathrm{f_a}$ mit $\mathrm{f_a(x)=ax^3+ax^2}$
und $\mathrm{a \in \RR}$.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie den Wert von a an, so dass der Punkt $\mathrm{(1|6)}$ auf dem Graphen von $\mathrm{f_a}$
liegt.
\item Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die der Graph von $\mathrm{f_a}$ mit der
x-Achse einschließt.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f_a(1) = a + a = 2a = 6 \Leftrightarrow a = 3}$
\item $\mathrm{f_a(x) = 0 \Leftrightarrow a x^2 (x+1) = 0\Leftrightarrow x = -1 \lor x = 0}$ \\
$\mathrm{\int\limits_{-1}^0 \left(ax^3 + a x^2 \right) dx = \left[ \frac 1 4 a x^4+ \frac 1 3 a x^3\right]_{-1}^0 = \frac 1 {12} a}$
\end{enumerate}
}