\ANG{
\phantom{x}\\
\begin{minipage}{6.5cm}
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in 
$\RR$ definierten Funktion f mit\\
$f(x)=2 \cdot \left(x^2 - 1\right) \cdot e^x$ 
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass für die erste Ableitungsfunktion f' von f gilt:\\
$f'(x)=2 \cdot \left(x^2+2x-1\right)\cdot e^x$
\item Weisen Sie nach, dass f genau zwei 
Nullstellen hat und dass diese $-1$ und 
$1$ sind. Berechnen Sie die x-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen 
von f.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=1\linewidth]{13rr1340KE01_1a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
\textit{(zur Kontrolle: x-Koordinate des Tiefpunkts: $-1+\sqrt 2$ )}
\begin{enumerate}
\addtocounter{enumi}{2}
\item Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine Zahl $b > 1$ gibt, für die\\
$\int\limits_{-1}^1 f(x) \, dx + \int\limits_1^b f(x) \, dx = 0$ gilt.
\end{enumerate}
Für jeden Wert $k \in \RR^+$ wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=k \cdot \left( x^2-1\right) \cdot e^x$ und $x \in \RR$ betrachtet. Damit entspricht die Funktion $h_2$ der Funktion $f$, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}
\item Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Graph von $h_1$ einen Tiefpunkt besitzt, der im gleichen Quadranten wie der Tiefpunkt des Graphen von $h_2$ liegt. Skizzieren Sie den Graphen von $h_1$ in der Abbildung 1.
\end{enumerate}
Die Funktion $H_k$ mit $H_k(x) = k \cdot \left(x^2 - 2x + 1\right) \cdot e^x$ ist eine Stammfunktion von $h_k$.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item Für jeden Wert von k schließen der Graph von $h_k$ und die x-Achse ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den das Flächenstück den Inhalt 1 hat.
\item Die Funktion $h_2$ besitzt zwei Stammfunktionen, deren Graphen jeweils in einem Punkt die x-Achse als Tangente haben. Ermitteln Sie jeweils einen Term dieser Stammfunktionen. 
\end{enumerate} 
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f'(x) = 2 \cdot \left(x^2-1\right) \cdot e^x + 2 \cdot 2x \cdot e^x =
 2 \cdot \left(x^2+2x-1 \right) \cdot e^x$
 \item Wegen $e^x > 0$ für alle $x \in \RR$ gilt $f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=-1 \lor x=1$.\\
 Für $x > 0$ gilt: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x -1 = 0\Leftrightarrow x = -1 + \sqrt 2$
 \item Die Funktionswerte von f sind für $-1 < x < 1$ negativ und für $x > 1$ positiv. Damit ist $\int\limits_{-1}^1 f(x) dx < 0$ und $\int\limits_1^b f(x) dx >0$. Für $x > 1$ ist f streng monoton zunehmend. Also 
gibt es eine Zahl b, für die $\int\limits_{-1}^1 f(x) dx = -\int\limits_1^b f(x) dx$ gilt.
\item Die Graphen von $h_1$ und $h_2$:\\
\begin{minipage}{6cm}
Der Graph von $h_1$ geht aus dem Graphen von $h_2$ durch Streckung mit dem Faktor $\frac 1 2$ in y-Richtung hervor.   
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=1\linewidth]{13rr1340KE01_1b.png}
\end{minipage}
\item Die Nullstellen von $h_k$ sind $-1$ und $1$.\\
$\int\limits_{-1}^1 h_k(x) dx = k \cdot \left[ \left( x^2 -2x +1\right) \cdot e^x \right]_{-1}^1 = -\frac {4k} e$\\
Da das Flächenstück den Inhalt 1 hat, gilt $\frac {4k} e = 1$ und somit $k = \frac 3 4$.
\item Die Terme aller Stammfunktionen von $h_2$ lassen sich durch $H_2(x)+c$ mit $c \in \RR$ darstellen. $H_2(-1) + c = 0 \Leftrightarrow c = -\frac 8 e \,, \quad H_2(1) + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$
\end{enumerate}
}