\ANG{
Ein Balancierseil nennt man neuerdings slackline. Eine slackline wird mit einer
Kraft von $2\,\mathrm{kN}$ bis $4\,\mathrm{kN}$ mit Hilfe von Ratschen und
Flaschenz"ugen vorgespannt.

\begin{center}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(-5,1)(5,3)
        %% Als Zeichenhilfe
        %%\psgrid
        \pnode(-5,2.5){A}
        \pnode(5,2.5){B}
        \ncline{|<->|}{A}{B}
        \ncput*{$L$}
        \pnode(0,2){C}
        \pnode(0,1){D}
        \ncline{<->}{C}{D}
        \ncput*{$D$}

        \psdots(-5,2)(5,2)(0,1)
        \psline(-5,2)(5,2)
        \psline(-5,2)(0,1)
        \psline(0,1)(5,2)
    \end{pspicture}
\end{center}

Im folgenden bezeichnen
\begin{itemize}
   \item $L$ die Seil"ange in Metern,
   \item $D$ den sogenannten Durchhang in Metern und
   \item $m$ die Masse in Kilogramm.
\end{itemize}

Zeige, dass f"ur diesen Fall
\[\frac{F}{\mathrm{kN}} \approx \frac{L}{D}\cdot\frac{m}{400}\]
gilt.

Welche Belastung "ubt demzufolge eine Person der Masse $50\,\mathrm{kg}$ auf ein Seil der L"ange $6{,}0\,\mathrm{m}$
und einem Durchhang von $D=30\,\mathrm{cm}$ aus?
}
\LSG{
\begin{center}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(-5,0)(5,2.5)
        %% Als Zeichenhilfe
        %%\psgrid
        \pnode(0,2.5){A}
        \pnode(5,2.5){B}
        \ncline{|<->|}{A}{B}
        \ncput*{$\dfrac{L}{2}$}
        \pnode(0,2){C}
        \pnode(0,1){D}
        \ncline{<->}{C}{D}
        \ncput*{$D$}
        \psdots(-5,2)(5,2)(0,1)
        \psline(-5,2)(5,2)
        \psline(-5,2)(0,1)
        \psline(0,1)(5,2)

        \uput{2.5}[185.654966237]{0}(5,2){$\varphi$}
        \psarc{->}(5,2){3.5}{180}{191.2099325}
    \end{pspicture}
\end{center}

Es gilt $\tan\varphi=\dfrac{2\,D}{L}$

\begin{center}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(-5,-1)(5,3)
        %% Als Zeichenhilfe
        %%\psgrid
        \psline[linestyle=dashed](0,2)(5,2)
        \uput{2.5}[185.654966237]{0}(5,2){$\varphi$}
        \psarc{->}(5,2){3.5}{180}{191.2099325}
        \psline[linecolor=yellow]{->}(0,1)(-5,2)
        \psline[linecolor=yellow]{->}(0,1)(5,2)
        \psline[linecolor=yellow,linestyle=dashed]{->}(5,2)(0,3)
        \psline[linecolor=red]{->}(0,1)(0,-1)
        \rput(0.25,0){$\red\vec{\bm{G}}$}
        \rput(-1,2){${\blue\vec{\bm{H}}}={\red-\vec{\bm{G}}}$}
        \psline[linecolor=blue]{->}(0,1)(0,3)
        \psdots(0,1)

        \rput(-2.5,1.2){$\yellow\vec{\bm{F}}_1$}
        \rput( 2.5,1.2){$\yellow\vec{\bm{F}}_2$}
        \rput(2.5,2.8){$\yellow\vec{\bm{F}}_1$}
    \end{pspicture}
\end{center}

Es gilt mit $F=F_1=F_2$
$$\sin\varphi=\frac{G}{2\,F}$$

Nun gilt f\"{u}r kleine Winkel $\varphi$: \quad $\sin\varphi\approx\tan\varphi$,
also
$$\frac{G}{2\,F}=\dfrac{2\,D}{L}\quad\Rightarrow\quad F = \dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{G}{4}\approx\dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{m\cdot10\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}}{4}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{F}{1\,\mathrm{kN}}=\dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{\dfrac{m}{\mathrm{kg}}}{400}$$

Weitere interessante Tatsachen:
\begin{itemize}
   \item Durch Wippen auf der slackline vergr"o\ss ert sich die Belastung um das
         1{,}5-- bis 2--fache.
   \item Beim Klettern benutzte B"ander haben eine Rei\ss festigkeit von
         $10\,\mathrm{kN}$ bis $20\,\mathrm{kN}$.
   \item Durch einen Knoten im Seil verringert sich die Rei\ss um etwa
         $50\%$.
\end{itemize}
}
