\ANG{
\label{Ueberholen}Die Autos \IMKREIS{1} und \IMKREIS{2} fahren mit den 
konstanten Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ ($v_1>v_2$) in die gleiche 
Richtung auf der Landstra"se. Auto \IMKREIS{1} befindet sich zun"achst 
hinter Auto \IMKREIS{2} und setzt zum "Uberholen an. 
\begin{enumerate}
\item Berechne die L"ange $L$ des gesamten "Uberholweges von Fahrzeug 
\IMKREIS{1}, 
ausgedr"uckt durch die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$, die Fahrzeugl"angen 
$s_1$ und $s_2$ sowie durch den Sicherheitsabstand $a$, der beim Ausscheren 
wie beim Einscheren eingehalten werden muss.
\item F"ur den Sicherheitsabstand gilt die Faustformel $a\, =$ {\em halber 
Tachostand}, d.h. der Zahlenwert von $a$ in Metern ist gleich dem halben 
Zahlenwert von $v_1$ in $\RFRAC{km}{h}$. Der Sicherheitsabstand ist 
also proportional zur Geschwindigkeit, d.h. $a=\alpha \cdot v_1$. Berechne 
$\alpha$ in einer m"oglichst einfachen Einheit. 
\item Setze $a=\alpha \cdot v_1$ in den Ausdruck f"ur $L$ ein. Im 
Folgenden sei $s_1=s_2=5\,$m und $v_2=100\, \RFRAC{km}{h}$. Zeichne den 
Grafen der Funktion $L(v_1)$. Berechne dazu $L$ f"ur\\
$v_1 \in \left\{105\, \RFRAC{km}{h}, 110\, \RFRAC{km}{h}, 120\,
\RFRAC{km}{h}, 140\, \RFRAC{km}{h}, 160\, \RFRAC{km}{h},
200\, \RFRAC{km}{h}, 300\, \RFRAC{km}{h}\right\}$.
\item Jetzt sei $v_1 = {\rm konst.} = 100\, \RFRAC{km}{h}$. 
Zeichne $L(v_2)$ in das gleiche Diagramm wie in Teilaufgabe (c).
Berechne dazu $L$ f"ur 
$v_2 \in \left\{10\, \RFRAC{km}{h}, 50\, \RFRAC{km}{h}, 70\,
\RFRAC{km}{h}, 80\, \RFRAC{km}{h}, 90\, \RFRAC{km}{h},
95\, \RFRAC{km}{h}\right\}$. 
\end{enumerate}
}
\LSG{
% Loesung zu 11a0150
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6cm}{merr045L1}{6cm}{}{
\PSFM{a}{$\frac{a}{2}$} \PSFM{g1}{$g_{1}$} \PSFM{g2}{$g_{2}$} 
\PSFM{s1}{$s_{1}$} \PSFM{s2}{$s_{2}$} \PSFM{E1}{$E_{1}$} 
\PSFM{E2}{$E_{2}$} \PSFM{A1}{$A_{1}$} \PSFM{A2}{$A_{2}$} 
\PSFM{v1}{$v_{1}$} \PSFM{v2}{$v_{2}$} 
}{\parfillskip0pt
Wir denken uns die Autos vorne und hinten um je einen halben
Sicherheitsabstand verl"angert. Wenn der Anfang $A_{1}$ des verl"angerten
Autos 1 auf das Ende $E_{2}$ des verl"angerten Autos 2 trifft
}\\[0mm]
\EPSR{6cm}{merr045L2}{6cm}{}{
\PSFM{g1}{$-g_{1}$} \PSFM{g2}{$g_{2}$} \PSFM{E1}{$E_{1}$} 
\PSFM{E2}{$E_{2}$} \PSFM{A1}{$A_{1}$} \PSFM{A2}{$A_{2}$} 
\PSFM{t}{$t$} \PSFM{x}{$x$} 
}{
beginnt der "Uberholvorgang (Zeitnulpunkt). Der "Uberholvorgang endet zur 
Zeit $T$, wenn $E_{1}$ auf $A_{2}$ trifft.\\[2mm]
$A_{2}:\quad x_{2}(t)=g_{2}+v_{2}t$\\[2mm]
$E_{1}:\quad x_{1}(t)=-g_{1}+v_{1}t$\\[2mm]
Aus $x_{1}(T)=x_{2}(T)$ folgt
\[T=\frac{g_{1}+g_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{s_{1}+s_{2}+2a}{v_{1}-v_{2}}\]
und damit
\[L=v_{1}T=\frac{v_{1}(s_{1}+s_{2}+2a)}{v_{1}-v_{2}}\]
}
\item Der Geschwindigkeit $v_{1}=100\,\RFRAC{km}{h}$ entspricht der
  Sicherheitsabstand $a=50\,\text{m}$, d.h.
\[\alpha=\frac{a}{v_{1}}=\frac{50\,\text{m}}{100\,\RFRAC{km}{h}}=
  \frac{50\,\text{m}\cdot 3600\,\text{s}}{100\,000\,\text{m}}=
  1{,}8\,\text{s}=0{,}0005\,\text{h}\]
\item Im Folgenden seien $v_{1}'$ und $v_{2}'$ die reinen Zahlenwerte der
  Geschwindigkeiten, d.h. $v_{1}=v_{1}'\,\RFRAC{km}{h}$ und
  $v_{2}=v_{2}'\,\RFRAC{km}{h}$. 
\[L=\frac{v_{1}(s_{1}+s_{2}+2\alpha v_{1})}{v_{1}-v_{2}}=
  \frac{v_{1}'\,\RFRAC{km}{h}(10\,\text{m}+0{,}001\,\text{h}\cdot
    v_{1}'\,\RFRAC{km}{h})}{v_{1}'\,\RFRAC{km}{h}-100\,\RFRAC{km}{h}}=
  \frac{v_{1}'(10+v_{1}')}{v_{1}'-100}\,\text{m}
\]
\begin{center}
  \begin{tabular}[t]{c|r|r|r|r|r|r|r}
    $v_{1}'$ & 105 & 110 & 120 & 140 & 160 & 200 & 300 \\\hline
    $L$ in m & 2415& 1320& 780 & 525 & 453 & 420 & 465
  \end{tabular}
\end{center}
\EPSC{merr045L3}{10cm}{}{
\PSFM{v1}{$v_{1}$} \PSFM{v2}{$v_{2}$} \PSF{L}{$L$ in m} 
\PSFM{v}{$v$ in $\RFRAC{km}{h}$} \PSFM{Min}{Min. bei $v_{1}'\approx 210$}
}
\item $\D L=\frac{v_{1}(s_{1}+s_{2}+2\alpha v_{1})}{v_{1}-v_{2}}=
  \frac{100\,\RFRAC{km}{h}(10\,\text{m}+0{,}001\,\text{h}\cdot
    100\,\RFRAC{km}{h})}{100\,\RFRAC{km}{h}-v_{2}'\,\RFRAC{km}{h}}=
  \frac{11000}{100-v_{2}'}\,\text{m}$
\begin{center}
  \begin{tabular}[t]{c|r|r|r|r|r|r|r}
    $v_{2}'$ & 0 & 10 & 50 & 70 & 80 & 90 & 95 \\\hline
    $L$ in m & 110& 122& 220 & 367 & 550 & 1100 & 2200
  \end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
}
