\ANG{
Nach der Reiskornlegende durfte der Erfinder des Schachspiels an den indischen Herrscher Shihram,
den das Spiel sehr erfreute, einen Wunsch richten. Er w\"{u}nschte sich, dass auf das erste Feld ein Reiskorn
gelegt wird, auf das zweite doppelt so viele Reisk\"{o}rner wie auf das erste, auf das dritte doppelt so viele
wie auf das zweite usw. Zun\"{a}chst l\"{a}chelte der Herrscher \"{u}ber die Bescheidenheit dieses Wunsches, etwas sp\"{a}ter wurde
er sehr zornig.

\begin{enumerate}
\item
Vervollst\"{a}ndige die nachstehende Tabelle:

\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  \multirowcell{2}{Feldnummer}  & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
    & als Zahl & als 2--er Potenz & als Zahl & mit 2--er Potenz geschrieben\\ \hline\hline
  1 & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} \\ \hline
  2 &   &   &   &   \\ \hline
  3 &   &   &   &   \\ \hline
  4 &   &   &   &   \\ \hline
  5 &   &   &   &   \\ \hline
  6 &   &   &   &   \\ \hline
  $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline
  63 &   &   &   &   \\ \hline
  64 &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabular}
\item Reis hat eine Dichte von etwa $1{,}39\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}$.
      Zwanzig Reisk\"{o}rner haben etwa eine Masse von 1 Gramm.

      Der vierachsige G\"{u}terwaggon UIC 571--2 hat eine L\"{a}nge \"{u}ber Puffer von $16{,}52\,\mathrm{m}$
      und einen Laderaum vom Volumen $105\,\mathrm{m}^3$.

      Wie lang m\"{u}sste ein Zug bestehend aus solchen Waggons sein, damit man den gesamten Reis, der
      sich auf dem Schachbrett befindet, transportieren kann? Die L\"{a}nge der Lok darfst du vernachl\"{a}ssigen (eventuell wird
      eine Lok zum Ziehen dieser Waggons nicht ausreichen).
\item Wie lange m\"{u}sstest du an einem beschrankten Bahn\"{u}bergang warten, bis der Zug vorbeigefahren ist,
      wenn du annimmst, dass der Zug mit einer konstanten Geschwindigkeit von $100\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ f\"{a}hrt?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
Vervollst\"{a}ndige die nachstehende Tabelle:

\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  \multirowcell{2}{Feldnummer} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
    & als Zahl & als 2--er Potenz & Zahl & mit einer 2--er Potenz geschrieben\\ \hline\hline
  1 & 1  & $2^0$ & 1 & $2^1-1$\\ \hline
  2 & 2  & $2^1$ & 3 & $2^2-1$\\ \hline
  3 & 4  & $2^2$ & 7 & $2^3-1$\\ \hline
  4 & 8  & $2^3$ & 15 & $2^4-1$\\ \hline
  5 & 16  & $2^4$ & 31 & $2^5-1$\\ \hline
  6 & 32  & $2^5$ & 63 & $2^6-1$\\ \hline
  $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline
  63 &   & $2^{62}$ &  & $2^{63}-1$  \\ \hline
  64 &   & $2^{63}$ &  & $2^{64}-1$  \\ \hline
\end{tabular}
\item Es befinden sich $2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ Reisk\"{o}rner auf dem Schachbrett.

      Diese haben eine Masse von etwa $m=922\,337\,203\,685\,477\,\mathrm{kg}$.

      Sie nehmen ein Volumen von $V=\frac{m}{\varrho}=\frac{922\,337\,203\,685\,477\,\mathrm{kg}}{1{,}39\cdot10^{3}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}}\approx663\,551\,945\,097\,\mathrm{m}^{3}$

      Daf\"{u}r brauchen wir $\frac{663\,551\,945\,097\,\mathrm{m}^{3}}{105\,\mathrm{m}^{3}}=6\,319\,542\,334$ Waggons.

      Diese haben eine L\"{a}nge von $6\,319\,542\,334\cdot16{,}52\,\mathrm{m}\approx104\,398\,839\,\mathrm{km}$.

      In Worten: Etwa 104 Millionen Kilometer!
\item Am Bahn\"{u}bergang muss man $\frac{104\,398\,839\,\mathrm{km}}{100\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\approx1\,043\,988\,\mathrm{h}\approx119\,\mathrm{a}$ warten.
\end{enumerate}

Hinweis: Die Ergebnisse wurden mit einem Computeralgebra--System \"{u}ber alle Ma{\ss}en genau berechnet. Selbstverst\"{a}ndlich k\"{o}nnen die Ergebnisse
auch unter Verwendung von 10--er--Potenzen formuliert werden.
}