\ANG{{\bf Beschleunigungsmesser im Postkartenformat}

Sie k"onnen ein ``Postkartengoniometer'' als Beschleunigungsmesser verwenden: Auf einer Postkarte markiert man eine Vertikale und davon ausgehend eine Winkelskala. Man w"ahlt eine feste Ausrichtung bez"uglich des Fahrzeugs oder Flugzeugs in dem man sich befinden (z.\ B.\ durch Anlegen an der Armlehne). Zun"achst bestimmt man mit einem Testpendel (z.\ B.\ Schl"ussel an Faden) die Richtung des Lotes auf der Postkarte im Stand, dann liest man in einem Moment besonders starker Beschleunigung (z.\ B.\ Start oder Bremsen) die Richtung des Testpendels ab und bestimmt den Winkel $\alpha$ gegen"uber der Lotrichtung.
\begin{enumerate}
\item Zeige: Die gesuchte Beschleunigung a ist gegeben durch $a = g\cdot \tan \alpha$ ($g$: Erdbeschleunigung)
\item Berechne $a$ f"ur $\alpha = 10^{\circ}$. Gib das Ergebnis in Stundenkilometer/Sekunde an. Sch"atzen einen Fehler f"ur die Messung ab.
\item Stelle eine Tabelle und eine Grafik f"ur Beschleunigung ($a$ in $\frac{km}{hs}$) gegen Winkel ($\alpha$ in Grad) im Bereich von $0^{\circ}$ bis $25^{\circ}$ auf. Warum stimmt die erhaltene Kurve so gut mit einer Geraden "uberein?
\item Die Abhebgeschwindigkeit eines Verkehrsflugzeugs betr"agt ca.\ \mbox{300 $\frac{km}{h}$}. Benutze das Ergebnis aus (b) um die Abhebezeit und 
L"ange einer Startbahn zu sch"atzen. 
\end{enumerate}

Quelle: Prof. Dr. M"uller, Zentrum f"ur Lehrerbildung, Campus Landau}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Beschleunigungen g senkrecht zur Erdoberfl"ache und a parallel zur Erdoberfl"ache werden vektoriell zur Gesamtbeschleunigung addiert. In dem entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt $\tan\alpha =\frac ag$. Hieraus folgt die Behauptung.
\item $a \approx 1,7\frac m{s^2}$ bzw.  $a \approx 6,2\frac{km}{hs}$. Der Ablesefehler beim Goniometer kann auf $\pm 30 \%$ $(\pm 3^{\circ})$ gesch"atzt werden, der des resultierenden Beschleunigungswertes dann ebenso.
\item F"ur kleine Winkel gilt: $\tan\alpha \approx\alpha$.

\begin {tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$\alpha$ in $^{\circ}$&0&5&10&15&20&	25\\ \hline
$a$ in $\frac{km}{hs}$&0&3,09&6,23&9,46&12,85&16,47\\ \hline
\end{tabular}

\includegraphics[width=9cm]{mecm025}
\item Es gilt $t = \frac va \approx 300 \frac{km}{h} / 6\frac{km}{h s} = 50 s$ (in "Ubereinstimmung mit der Beobachtung). Die Startbahn  mu"s  mindestens  so lang  sein  wie die  Strecke $s=\frac12 a\cdot t^2$ die das Flugzeug in dieser Zeit zur"ucklegt. Mit den erhaltenen Werten gilt 
$s = \frac 12\cdot 1,7\frac{m}{s^2}\cdot (50s)^2\approx 2000m$. Aus Sicherheitsgr"unden  (insbesondere f"ur Startabbruch und Notbremsung) sind wirkliche Startbahnen l"unger (z.\ B.\ Frankfurt a.M.: 3600m).
\end{enumerate}}