\ANG{
Der franz"osische Fallschirmspringer Michel Fournier (geb. 14.05.1944) verfolgt seit mehr als 10 Jahren das Ziel in ca.\, 40\,000 m H"ohe mit einem Stratosph"arenballon aufzusteigen und von dort abzuspringen. Dabei will er vier Weltrekorde auf einmal brechen. Ein Versuch am 25.08.2003 endete kurz vor dem Ballonstart als die Ballonh"ulle riss. Am 27.05.2008 scheitert ein weiterer Versuch des wagemutigen Franzosen, als ihm der Heliumballon, der ihn in die L"ufte tragen sollte, entwischte.

\begin{enumerate}
\item Welchen H"ohenunterschied m"usste man ohne Luftwiderstand durchfallen, damit man die Schallgeschwindigkeit von $344 \frac ms$ erreicht? 
\item Wie gro"s darf die Luftdichte h"ochstens sein, dass ein K"orper der Masse $100 \mbox{kg}$, der Querschnittsfl"ache $A = 1,0 \mbox{m}^2$ und dem Widerstandsbeiwert $c_W = 0,35$ (Halbkugel) die Schallgeschwindigkeit $v_S = 344 \frac ms$ erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft sich aus  
$F_L=\frac 12\cdot c_W\cdot A\cdot \varrho_{Luft}\cdot v^2$ errechnet. In welcher H"ohe ist diese Dichte etwa erreicht?
\item Welche Gr"o"se (Volumen und Radius) m"usste der mit Helium gef"ullte Stratosph"arenballon mindestens haben, damit er die Last von Ausr"ustung und Ballonh"ulle von ca.\ $1000 kg$ in $40\,000 m$ H"ohe hebt? Wie viel Kilogramm Helium muss man am Boden einf"ullen? 
\end{enumerate}

\includegraphics[width=15cm]{mecm030}

Quelle: http://leifi.physik.uni-muenchen.de
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\frac 12mv^2=mgh\Rightarrow h=\frac{v^2}{2g}=\frac{(344\frac ms)^2}{2\cdot 9,81\frac{m}{s^2}}=6,03\cdot 10^3m$
\item $m\cdot g=\frac 12\cdot c_W\cdot A\cdot \varrho_{Luft}\cdot v^2 \Rightarrow$

$\varrho_L=\frac{2mg}{c_WAv^2}=\frac{2\cdot 100kg\cdot 9,81\frac{m}{s^2}}{0,35\cdot 1,0m^2\cdot (344\frac ms)^2}=47\frac{g}{m^3}$

Dies ist in der nat"urlichen Atmosph"are etwa in 24000m H"ohe erreicht.
\item Im Kr"aftegleichgewicht ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft. Die Auftriebskraft ist genau so gro"s wie die Gewichtskraft der verdr"angten Luft. Die Formelsammlung ergibt:

Dichte von Helium unter Normalbedingungen: $\varrho_{He} = 0,179 \frac{kg}{m^3}$

Dichte von Luft unter Normalbedingungen: $\varrho_{Luft} = 1,293 \frac{kg}{m^3}$

Dichte von Luft $40\,000 m$ H"ohe: $\varrho_{Luft} = 4\frac{g}{m^3}$

Das Dichteverh"altnis $\frac{\varrho_{He}}{\varrho_{Luft}}=0,138$ ist von der H"ohe unabh"angig.

$m_{Ballon}\cdot g +m_{He}\cdot g=m_{Luft}\cdot g \Rightarrow$

$V_{Ballon}=\frac{m_{Ballon}}{(1-0,138)\cdot \varrho_{Luft}}=290\cdot 10^3 m^3\Rightarrow$

$r=41m\Rightarrow m_{He}=121kg$
\end{enumerate}
}