\ANG{
\EPSR{8cm}{merr4381}{5cm}{}{
\PSFM{h}{$h$} \PSFM{x}{$x$} \PSF{t0}{$t_{0}=0$} \PSFM{t1}{$t_{1}$} 
\PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{va}{$v_{\text{A}}$} \PSFM{0}{0}
\PSFM{B}{Boden} \PSFM{K}{Keller} \PSFM{H}{H} 
}{
Das Hochhaus dieser Aufgabe steht auf einem Planeten mit der
Fallbeschleunigung $g=10{,}0\,\RFRAC{m}{s^{2}}$. Ein Aufzug f"ahrt an der
Au"senwand mit der konstanten Geschwindigkeit $v_{\text{A}}$ nach oben, zur
Zeit $t_{0}=0$ ist das Kabinendach bei $x_{0}=0$. Ebenfalls zur Zeit $t_{0}=0$
l"asst ein Lausbub vom Dach des Hochhauses ($x=h=90{,}0\,\text{m}$) eine
Stahlkugel fallen, die das 
Aufzugdach zur Zeit $t_{1}$ am Ort $x_{1}=45{,}0\,\text{m}$ trifft.
Eine Dame im Aufzug, die ihr Handy H l"assig aus dem Fenster h"alt, l"asst es
beim Aufprall der Stahlkugel vor Schreck fallen. Zu diesem Zeitpunkt befindet
sich das Handy genau einen Meter unter dem Aufzugdach.  
}
\begin{enumerate}
\item Berechne $t_{1}$ und dann $v_{\text{A}}$. Mit welcher Geschwindigkeit
  $v_{1}$ prallt die Kugel auf das Dach des Aufzugs?
\item Welche Geschwindigkeit $v_{\text{H1}}$ hat das Handy zur Zeit $t_{1}$?
  Zu welcher Zeit $t_{2}$ ist die Geschwindigkeit des Handies null? Welche
  maximale H"ohe $x_{\text{H2}}$ erreicht das Handy und mit welcher
  Geschwindigkeit $v_{\text{H3}}$ prallt es auf den Boden?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D x_{\text{k}}(t)=h-\frac{g}{2}t_{1}^{2}=x_{1}\QDQ
t_{1}=\sqrt{\frac{2(h-x_{1})}{g}}=3{,}00\,\text{s}$\\[2mm]
$\D v_{\text{A}}=\frac{x_{1}}{t_{1}}=15{,}0\,\RFRAC{m}{s}=54{,}0\,\RFRAC{km}{h}$,
\qquad $v_{1}=-gt_{1}=-30{,}0\,\RFRAC{m}{s}=-108\,\RFRAC{km}{h}$\\[2mm]
Relativ zum Aufzug ist die Aufprallgeschwindigkeit 
$\D v_{1}-v_{\text{A}}=-45{,}0\,\RFRAC{m}{s}$
\item $\D v_{\text{H1}}=v_{\text{A}}$,\qquad
 $\D v_{\text{H}}(t)=v_{\text{A}}-g(t-t_{1})$,\qquad
$\D v_{\text{H}}(t_{2})=0\QDQ t_{2}=t_{1}+\frac{v_{\text{A}}}{g}=
  4{,}50\,\text{s}$\\[2mm]
$\D x_{\text{H2}}=x_{\text{H}}(t_{2})=\underbrace{x_{1}-1\,\text{m}}_{44\text{m}}+
  \underbrace{v_{\text{A}}(t_{2}-t_{1})}_{22{,}5\,\text{m}}-
  \underbrace{\frac{g}{2}(t_{2}-t_{1})^{2}}_{11{,}25\,\text{m}}=55{,}25\,\text{m}$\\[2mm]
$\D \frac{m}{2}v_{\text{H3}}^{2}=mgx_{\text{H2}}\QDQ v_{\text{H3}}=-\sqrt{2gx_{\text{H2}}}=
  -\sqrt{1105}\,\RFRAC{m}{s}=-33{,}2\,\RFRAC{m}{s}=-120\,\RFRAC{km}{h}$
\end{enumerate}
}
