\ANG{
\EPSR{7.0cm}{merr4211}{7cm}{}{
\PSFM{f1}{$-30^{\circ}$} \PSFM{f2}{$30^{\circ}$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{1}{\IMKREIS{1}} \PSFM{2}{\IMKREIS{2}} \PSFM{3}{\IMKREIS{3}}   
\PSFM{L}{$L$} \PSFM{0}{0} \PSFM{h}{$h$}  \PSFM{x2}{$x_{2}$}
\PSFM{D}{D} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{y1}{$y_{1}$} \PSFM{y2}{$y_{2}$}
\PSFM{T2}{$T_{2}$} \PSFM{T3}{$T_{3}$}
\PSFM{nM}{\fbox{\parbox[t]{1.6cm}{nicht ma"sstabsgetreu!}}}
}{
Tarzan schwingt sich an einer Liane durch den Urwald (siehe Abbildung). Dabei
hat sein Schwerpunkt zum Drehpunkt D die Entfernung $L=15{,}0\,\text{m}$, D
befindet sich $h=25{,}0\,\text{m}$ "uber dem Boden. Er
startet ruhend zur Zeit $t=0$ in der Lage \IMKREIS{1}
($\varphi_{1}=-30^{\circ}$). 
\begin{enumerate}
\item Tarzan l"asst die Liane im tiefsten Punkt der Pendelbewegung los 
(Lage \IMKREIS{2}). Wann ($t_{2}$) und wo ($x_{2}$) erreicht er den Boden?

Berechne die Koordinaten des Punktes $\EPUNKT{P}{x_{4}}{y_{4}}$, an dem sich
Tarzan zur Zeit $t_{4}=3{,}00\,\text{s}$ befindet.
\item Tarzan l"asst die Liane im h"ochsten Punkt der Pendelbewegung los 
(Lage \IMKREIS{3}). Wann ($t_{3}$) und wo ($x_{3}$) erreicht er den Boden?
\end{enumerate}
}\\[-4mm]
\begin{enumerate}
\item[] Berechne die Koordinaten des Punktes $\EPUNKT{Q}{x_{5}}{y_{5}}$, an dem sich
Tarzan zur Zeit $t_{4}=3{,}00\,\text{s}$ befindet.
\item[(c)] Fertige eine Zeichnung wie die gegebene Abbildung, die jedoch
  ma"sstabsgetreu ist ($1:200$). Zeichne verschiedenfarbig die Bahnkurven von
  Tarzan in den F"allen (a) und (b) sowie die Punkte P und Q ein.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}=0{,}8087\,\RFRAC{1}{s}$;\quad 
 $\D T=\frac{2\pi}{\omega}=7{,}77\,\text{s}$;\quad
 $\D T_{2}=\frac{T}{4}=1{,}94\,\text{s}$\\[2mm]
 $y_{1}=h-L\cos\varphi_{1}=12{,}0\,\text{m}$;\quad
 $y_{2}=h-L=10{,}0\,\text{m}$\\[2mm]
 $\Delta y=y_{1}-y_{2}=h-L\cos\varphi_{1}=2{,}0\,\text{m}$\\[2mm]
Geschwindigkeit in $\,\IMKREIS{2}\,$: $\D\frac{m}{2}v_{2}^{2}=mg\Delta y
  \quad\DANN\quad v_{2}=\sqrt{2g\Delta y}=6{,}3\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
Fallzeit: $\D\frac{g}{2}\tau_{2}^{2}=y_{2}
  \quad\DANN\quad \tau_{2}=\sqrt{\frac{2y_{2}}{g}}=1{,}43\,\text{s}
   \quad\DANN\quad t_{2}=T_{2}+\tau_{2}=3{,}37\,\text{s}$\\[2mm]
   $x_{2}=v_{2}\tau_{2}=2\sqrt{y_{2}\Delta y}=
   2\sqrt{(h-L)L(1-\cos\varphi_{1})}=9{,}0\,\text{m}$\\[2mm]
$x_{4}=v_{2}(t_{4}-T_{2})=6{,}6\,\text{m}$,\quad
$y_{4}=y_{2}-\frac{g}{2}(t_{4}-T_{2})^{2}=4{,}5\,\text{m}$,\quad
$\EPUNKT{P}{6{,}6\,\text{m}}{4{,}5\,\text{m}}$
\item $v_{3}=0$, d.h. freier Fall: 
  $\D\tau_{3}=\sqrt{\frac{2y_{1}}{g}}=1{,}56\,\text{s}
  \quad\DANN\quad t_{3}=T_{3}+\tau_{3}=5{,}44\,\text{s}$\\[2mm]
  $\D\varphi_{3}=30^{\circ}\quad\DANN\quad x_{3}=L\sin\varphi_{3}=
   \frac{L}{2}=7{,}5\,\text{m}$\\[2mm]
  $\D\varphi(t)=-30^{\circ}\cos\omega t\quad\DANN\quad 
   \varphi_{5}=\varphi(t_{4})=22{,}6^{\circ}=0{,}395$\\[2mm]
  $\D x_{5}=L\sin\varphi_{5}=5{,}8\,\text{m}$,\quad
  $y_{5}=h-L\cos\varphi_{5}=11{,}2\,\text{m}$,\quad
  $\EPUNKT{Q}{5{,}8\,\text{m}}{11{,}2\,\text{m}}$
\item \EPSR{7.0cm}{merr4212}{7cm}{}{
\PSFM{fi}{$\varphi_{5}$} \PSFM{P}{P} \PSFM{Q}{Q} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{10}{10} \PSFM{20}{20} \PSFM{5}{5}  \PSFM{15}{15} 
\PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{L}{$L$} \PSFM{0}{0} \PSFM{x3}{$x_{3}$}
\PSFM{D}{D} \PSFM{y}{$y$}
}{
Kurve zu (a) ($\overline{t}=t-T_{2}$):
\begin{align}
x(\overline{t})&=v_{2}\overline{t}\quad\DANN\quad \overline{t}=\frac{x}{v_{2}}\nonumber\\
y(\overline{t})&=y_{2}-\frac{g}{2}\overline{t}^{2}\quad\DANN\nonumber\\
y&=y_{2}-\frac{g}{2v_{2}^{2}}x^{2}\nonumber\\
y&=10\,\text{m}-0{,}1244\,\RFRAC{1}{m}\,x^{2}\nonumber
\end{align}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c}
$\D\frac{x}{\text{m}}$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\\hline
$\D\frac{y}{\text{m}}$ & 10 & 9,5 & 8,0 & 5,5 & 2,0
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
}
\end{enumerate}
}
