\ANG{
Am 14.November 2003 wurde der Planetoid Sedna entdeckt. Noch nie zuvor wurde
ein nat"urliches Objekt aus unserem Sonnensystem in einer so gro"sen Entfernung
von der Erde entdeckt.

Im folgenden sch"atzen wir einige physikalische Eigenschaften dieses Planetoiden
ab.

\begin{enumerate} 
    \item Sedna wurde in einer Entfernung von $90\,\text{AU}$ von der Sonne entdeckt. Drei"sig Tage nach seiner Entdeckung hat der 
         Radius des Planetoiden einen Winkel von $2{,}8^{'}$ "uberstrichen.
        
        Berechne unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit in den ersten drei"sig Tagen nach der Entdeckung von Sedna konstant ist, den Betrag derselben.
    \item Berechne die gro"se Halbachse $a$ der Bahn und die Umlaufdauer von Sedna.
    \item Die Exzentrizit"at der Bahn von Sedna ist $e=0{,}8506$. Berechne den Abstand Sednas im Perihel und Aphel von der Sonne.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $v=\dfrac{2{,}8^{'}}{360 \cdot 60^{'}} \cdot \dfrac{2\,r\,\pi}{30 \cdot 86\,400\,\text{S}}=4{,}2\,\dfrac{\text{km}}{\text{s}}$


\item $v = \sqrt{G\,M\,\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)} \; \Rightarrow \;
       a = \dfrac{G\,M\,r}{2\,G\,M-r\,v^2} = 5{,}5 \cdot 10^2\,\text{AE}$

\item Perihel $(1-e)\,a = 82\,\text{AE}$

      Aphel $(1+e)\,a = 1{,}0 \cdot 10^3\,\text{AE}$
\end{enumerate}
}