\ANG{
\parbox[t]{0.425\linewidth}{
   Nebenstehend ist die Bahn des Kometen Encke um die Sonne S abgebildet. Im Perihel P hat der Komet von der Sonne einen Abstand von $0{,}339\,\mathrm{AE}$ und im Aphel einen von $4{,}097\,\mathrm{AE}$.
   \begin{enumerate}
      \item Der letzte Periheldurchgang war am 7.8.2010 zu beoachten. In wie viel Tagen erfolgt der n"achste Periheldurchgang?
      \item Im Perihel hat der Komet eine Geschwindigkeit von $69{,}53\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$. Sch"atze ab, wie gro\ss\ die Geschwindigkeit von Encke beim Apheldurchgang ist. Dabei kannst du verwenden, dass die Geschwindigkeiten des Kometen in der N"ahe von Perihel und Aphel konstant sind.
   \end{enumerate}
}\hspace{0.05\linewidth}
\parbox[t]{0.525\linewidth}{
    \begin{center}
        \psset{unit=1.8cm}
        \begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,1.5)
            %% Vertikale Linien
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-1.5)(-2.5,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.25,-1.5)(-2.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-2,-1.5)(-2,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-1.75,-1.5)(-1.75,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-1.5,-1.5)(-1.5,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-1.25,-1.5)(-1.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-1,-1.5)(-1,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-0.75,-1.5)(-0.75,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-0.5,-1.5)(-0.5,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-0.25,-1.5)(-0.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](0,-1.5)(0,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](0.25,-1.5)(0.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](0.5,-1.5)(0.5,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](0.75,-1.5)(0.75,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](1,-1.5)(1,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](1.25,-1.5)(1.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](1.5,-1.5)(1.5,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](1.75,-1.5)(1.75,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](2,-1.5)(2,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](2.25,-1.5)(2.25,1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](2.5,-1.5)(2.5,1.5)
            %% Horizontale Linien
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-1.5)(2.5,-1.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-1.25)(2.5,-1.25)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-1)(2.5,-1)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-0.75)(2.5,-0.75)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-0.5)(2.5,-0.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,-0.25)(2.5,-0.25)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,0)(2.5,0)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,0.25)(2.5,0.25)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,0.5)(2.5,0.5)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,0.75)(2.5,0.75)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,1)(2.5,1)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,1.25)(2.5,1.25)
            \psline[linecolor=lightgray](-2.5,1.5)(2.5,1.5)

            \psellipse(0,0)(2.218,1.179)
            \uput*{0.075}[180]{0}(-2.218,0){P}
            \uput*{0.075}[0]{0}(2.218,0){A}
            \uput{0.1}[90]{0}(-1.879,0){S}
            \psdots[dotstyle=Bo](0,0)(-1.879,0)(1.879,0)(-2.2,0)(2.2,0)
        \end{pspicture}
    \end{center}
}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Daten von Encke:

      \begin{tabular}{|l|r|} \hline
        Gr"o\ss e & Wert \\ \hline\hline
        Perihel & $0{,}339\,\mathrm{AE}$ \\ \hline
        Aphel & $4{,}097\,\mathrm{AE}$ \\ \hline
        Numerische Exzentrizit"at & $\varepsilon=0{,}847$ \\ \hline
        Umlaufdauer & $T=3\,\mathrm{a}\,110\,\mathrm{d}$ \\ \hline
        Geschwindigkeit im Perihel & $69{,}53\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ \\ \hline
        Gro\ss e Halbachse & $a=2{,}218\,\mathrm{AE}$ \\ \hline
        Kleine Halbachse & $b=a\,\sqrt{1-\varepsilon^2}=1{,}179\,\mathrm{AE}$ \\ \hline
        Lineare Exzentrizit"at & $e=1{,}879\,\mathrm{AE}$ \\ \hline
        Letzter Periheldurchgang & 7.8.2010\\
        \hline
      \end{tabular}

      Gro\ss e Halbachse $a=\dfrac{0{,}339\,\mathrm{AU}+4{,}097\,\mathrm{AU}}{2}=2{,}218\,\mathrm{AU}=3{,}0318\,128\cdot10^{11}\,\mathrm{m}$.

      \[T^2\approx\dfrac{4\,\pi^2}{G\,M_{\odot}}\,a^3
      \quad\Rightarrow\quad T\approx2\,\pi\,\sqrt{\frac{a^3}{G\,M_{\odot}}}\quad\Rightarrow\quad T\approx1206\,\mathrm{d}\].

      Alternative: \quad $\dfrac{T_{\text{Erde}}^2}{a_{\text{Erde}}^3}=\dfrac{T_{\text{Enke}}^2}{a_{\text{Enke}}^3}\quad\Rightarrow\quad T_{\text{Enke}} = \left(\dfrac{a_{\text{Enke}}}{a_{\text{Erde}}}\right)^{1{,}5}\,T_{\text{Erde}}$
\item Exakte L"osung:

      \[\frac{1}{2}\,m\,v_{\text{A}}^2-\frac{G\,m\,M_{\odot}}{r_{\text{A}}}=\frac{1}{2}\,m\,v_{\text{P}}^2-\frac{G\,m\,M_{\odot}}{r_{\text{P}}}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{A}}=\sqrt{v_{\text{P}}^2-2\,M_{\odot}\,G\,\left(\frac{1}{r_{\text{P}}}-\frac{1}{r_{\text{A}}}\right)}=5{,}75\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\]

      Absch"atzung:

\begin{center}
    \psset{unit=1.8cm}
    \begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,1.5)
        \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.879,0)(-2.15,0.25)(-2.15,-0.25)
        \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.879,0)(2.15,0.25)(2.15,-0.25)

        \psellipse(0,0)(2.218,1.179)
        \uput*{0.075}[180]{0}(-2.218,0){P}
        \uput*{0.075}[0]{0}(2.218,0){A}
        \uput{0.1}[90]{0}(-1.879,0){S}
        \psdots[dotstyle=Bo](0,0)(-1.879,0)(1.879,0)(-2.2,0)(2.2,0)(-2.15,0.25)(-2.15,-0.25)(2.15,0.25)(2.15,-0.25)

        \uput{0.2}[90]{0}(0,0){M}

        \uput{0.1}[180]{0}(-2.15,-0.25){Q}
        \uput{0.1}[180]{0}(-2.15,0.25){R}

        \uput{0.1}[0]{0}(2.15,-0.25){B}
        \uput{0.1}[0]{0}(2.15,0.25){C}
    \end{pspicture}
\end{center}

Es gilt der Keplersche Fl"achensatz: In gleichen Zeiten "uberstreicht der Radius gleiche Fl"achen. Offensichtlich haben die Ellipsensektoren SRQ und SBC unterschiedliche Fl"acheninhalte. Also ist die Zeit $t_{\text{P}}$, die der Komet ben"otigt um von Q nach R zu kommen deutlich kleiner als die Zeit $t_{\text{A}}$ f"ur seinen Weg von C nach B.
Unter den Annahmen, dass sich die Geschwindigkeit in der N"ahe der der Punkte P und A nur sehr wenig "andert und dass die Fl"acheninhalte der Ellipsensektoren gleich den
Fl"acheninhalten der zugeh"origen Dreiecke sind erhalten wir:

\[\frac{A_{\Delta\text{SRQ}}}{t_{\text{P}}}=\frac{A_{\Delta\text{SBC}}}{t_{\text{A}}}\quad\Rightarrow\quad
\frac{\overline{\text{RQ}}\cdot0{,}339\,\mathrm{AE}}{t_{\text{P}}}=\frac{\overline{\text{CB}}\cdot4{,}097\mathrm{AE}}{t_{\text{A}}}\]

Mit
\[v_{\text{P}}\approx\frac{\overline{\text{RQ}}}{t_{\text{P}}}\qquad\text{und}\qquad v_{\text{A}}\approx\frac{\overline{\text{CB}}}{t_{\text{P}}}\]
ergibt sich
\[v_{\text{A}}\approx\frac{0{,}339\,\mathrm{AU}}{4{,}097\mathrm{CB}}\cdot v_{\text{P}}=5{,}75\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\]

Dieser Wert stimmt sogar bis auf drei geltenden Ziffern mit dem exakt berechneten "uberein.
\end{enumerate}
}