\ANG{
Der Jupitermond Io umrundet den Planeten in der Zeit
$T_{\text{Io}}=1{,}77\,\text{d}$ 
auf einer Bahn mit der gro"sen Halbachse 
$a_{\text{Io}}=4{,}22\cdot 10^{5}\,\text{km}$. 
\begin{enumerate}
\item Der Jupitermond Europa hat die Umlaufdauer
  $T_{\text{Eu}}=3{,}55\,\text{d}$. Wie lang ist die gro"se Halbachse 
  $a_{\text{Eu}}$ der Umlaufbahn von Europa?
\item Eine Jupitersonde soll den Planeten so umrunden, dass ihre kleinste
  Entfernung (Punkt A) vom Planetenmittelpunkt $r_{1}=2{,}00\cdot
  10^{5}\,\text{km}$  
  und ihre gr"o"ste Entfernung (Punkt B) $r_{2}=8{,}00\cdot 10^{5}\,\text{km}$ 
  ist. Berechne die L"ange $a$ der gro"sen Halbachse, die Umlaufdauer $T$, die 
  Exzentrizit"at $e$ und die L"ange $b$ der kleinen Halbachse der Sondenbahn. 
\item Zeichne von der Sondenbahn die Punkte A, B und die beiden Brennpunkte 
  S$_{1}$ (Jupiter) und S$_{2}$
  ($10^{5}\,\text{km}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm}$). Zeichne auch die Punkte C 
  und D ein, die aus der Kenntnis der kleinen Halbachse 
  resultieren. 

  Konstruiere (mit kurzer Erl"auterung) die Bahnpunkte E  
  und F, die von Jupiter die Entfernung $r_{3}=3{,}2\cdot 10^{5}\,\text{km}$ 
  haben. Welche Entfernung $r_{4}$ haben diese Punkte von S$_{2}$? Beweise, 
  dass $\text{EF}\,\bot\,\text{AB}$ gilt. Skizziere jetzt die Bahn unter
  Ausnutzung von Symmetrien.
\end{enumerate} 
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\frac{T_{\text{Eu}}^{2}}{a_{\text{Eu}}^{3}}=
  \frac{T_{\text{Io}}^{2}}{a_{\text{Io}}^{3}}=C_{\text{Jup}}=
  4{,}17\cdot 10^{-17}\,\RFRAC{d^{2}}{km^{3}}\QDQ$\\[2mm] 
$\D
  a_{\text{Eu}}=\sqrt[3]{\frac{T_{\text{Eu}}^{2}a_{\text{Io}}^{3}}{T_{\text{Io}}^{2}}}=
  a_{\text{Io}}\sqrt[3]{\frac{T_{\text{Eu}}^{2}}{T_{\text{Io}}^{2}}}= 
  1{,}59\,a_{\text{Io}}=6{,}71\cdot 10^{5}\,\text{km}$
\item $\D a=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=5\cdot 10^{5}\,\text{km}$\\[2mm]
  $\D\frac{T^{2}}{a^{3}}=C_{\text{Jup}}\QDQ
  T=\sqrt{a^{3}C_{\text{Jup}}}=2{,}28\,\text{d}$\\[2mm]
  $\D d=a-r_{1}=3\cdot 10^{5}\,\text{km}=ea\QDQ e=\frac{d}{a}=0{,}6$\\[2mm]
  $\D b=\sqrt{a^{2}-d^{2}}=a\sqrt{1-e^{2}}=0{,}8\,a=4\cdot 10^{5}\,\text{km}$
\item \EPSR{7cm}{asrr1211}{6cm}{}{
  \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{E}{E} 
  \PSFM{F}{F} \PSFM{S1}{S$_{1}$} \PSFM{S2}{S$_{2}$} \PSFM{r3}{$r_{3}$} 
  \PSFM{r4}{$r_{4}$} \PSFM{Es}{E'} \PSFM{Fs}{F'} 
  }{
  $r_{4}=\overline{\text{ES}_{2}}=2a-r_{3}=6{,}8\cdot
  10^{5}\,\text{km}$\\[2mm]
  $\text{k}(\text{S}_{1},r_{3})\cap\text{k}(\text{S}_{2},r_{4})=
  \{\text{E,F}\}$\\[2mm]
  $\overline{\text{S}_{1}\text{S}_{2}}=2d=6\cdot 10^{5}\,\text{km}$\\[2mm]
  $r_{3}^{2}+\overline{\text{S}_{1}\text{S}_{2}}^{2}=46{,}24\cdot
  10^{10}\,\text{km}^{2}$\\[2mm] 
  $r_{4}^{2}=6{,}8^{2}\cdot
  10^{10}\,\text{km}^{2}=r_{3}^{2}+\overline{\text{S}_{1}\text{S}_{2}}^{2}\QDQ$\\[2mm]
  $\angle\text{S}_{2}\text{S}_{1}\text{E}=90^{\circ}$ 
  }
\end{enumerate} 
}